Abitur NRW Mathematik 2022

Abiturprüfungen Mathematik in Nordrhein-Westfalen 2022 und Aufgaben aus dem IQB-Pool: GK · Haupttermin · CAS. Mit Lösung zu jeder Aufgabe.

GK · Haupttermin · CAS (2022)

Themen der Prüfung: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe A1 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist g(x) = 1/3 x^3 - 1/2 x^2 - 6x + 5. Bestimme die erste Ableitung g'(x) sowie die Extremstellen von g und deren Art.
• Aufgabe A1 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen beider Graphen angeben. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)e^x+0,5x^2-3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Flächeninhalt der…
• Aufgabe A1 c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.
• Aufgabe A1 d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E.
• Aufgabe A1 e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  e) Gegeben sind A(0|0|0), B(8|6|0) und C(4|3|z) mit z > 0. (1) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig mit der Basis AB ist. (2) Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt 35. Bestimmen Sie z.
• Aufgabe A2 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist g(x) = 1/3 x^3 - 1/2 x^2 - 6x + 5. (1) Erste Ableitung g'(x) bestimmen. (2) Extremstellen von g berechnen und deren Art bestimmen.
• Aufgabe A2 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen angeben. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)*e^x+0,5*x^2-3*x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Den Inhalt der eingeschlossenen Fläche…
• Aufgabe A2 c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Für f(x)=x^2 die reelle Zahl m < 0 bestimmen, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.
• Aufgabe A2 d · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Pia wirft n=100 Mal mit p=0,8 auf eine Dartscheibe. (1) Erwartungswert und Standardabweichung berechnen, (2) Term für P(X=80) angeben, (3) Term für P(X>=1) angeben und begründen, dass dieser nahezu…
• Aufgabe A2 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Gegeben ist ein unvollständiges Histogramm für n=4, p=0,5. Begründet P(X=3) und P(X=4) angeben sowie die fehlenden Säulen für k=2, 3, 4 im Histogramm ergänzen.
• Aufgabe A3 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktion g(x) = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 6x + 5. (1) Erste Ableitung g'(x) bestimmen. (2) Extremstellen von g berechnen und Art der Extremstellen bestimmen.
• Aufgabe A3 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind die Funktionen f(x) = (x-3)*e^x und g(x) = x-3. (1) Bestimmen Sie die beiden Schnittstellen der Graphen. (2) Weisen Sie nach, dass D(x) = (4-x)*e^x + 0,5*x^2 - 3*x eine Stammfunktion von…
• Aufgabe A3 c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben ist f(x) = x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m mit m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y = m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.
• Aufgabe A3 d · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B(8|6|0) und C(4|3|z) mit z > 0. Zeigen Sie, dass Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis AB ist, und bestimmen Sie z für Flächeninhalt 35.
• Aufgabe A3 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Pia wirft 100-mal auf eine Dartscheibe (p = 0,8, binomialverteilt). Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X, geben Sie den Term für P(X = 80) an sowie den Term für P(X >= 1) samt…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktion f(x) = 9*x*e^(-1,5x) bezüglich Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten, globalen Extremsteigungen im Intervall [0;6], Extremwertaufgabe mit Dreiecksfläche OPQu und…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b(1): Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche A, die der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = 6 einschließen. Teilaufgabe c(1): Begründen Sie die Bedingungen I und II für die Tangente…
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung von Element E2 und Übergängen im Skatepark: Symmetrie und geometrische Bedeutung von f; Höhenunterschied im Bereich [-4; 4,8]; knickfreier Übergang von E1 zu E2; Überprüfung der…
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Element E3 soll durch eine ganzrationale Funktion g 2. Grades modelliert werden, die in B(4,8 | f(4,8)) knickfrei an f anschließt. Der Tiefpunkt von E3 liegt in 3,6 m horizontaler Entfernung von B…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben b und e: Materialkosten für Betonelemente der Skatebahn über Integrale berechnen und Gleichungen für Abmessungen aufstellen.
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgabe a: (1) Koordinaten von B angeben; (2) Nachweisen, dass Dreieck G_a E F für alle a >= 0 in E rechtwinklig ist; (3) a >= 0 angeben, sodass G_a die Strecke AD im Verhältnis 2:1 teilt; (4)…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgabe c: (1) Parametergleichung der Ebene E_Dach nachweisen. (2) Rechnerisch zeigen, dass die Gerade g einen Punkt der Dachfläche GEF enthält. (3) Startpunkt der geradlinigen Flugstrecke mit…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a (1)-(3): Erstellung eines Baumdiagramms mit den Merkmalen fehlerfreier/fehlerhafter Schraubenkörper und fehlerfreie/fehlerhafte Beschichtung. Berechnung von P(E_1) (Schraube fehlerfrei)…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Binomialverteilte Zufallsgrößen bei Qualitätskontrollen und Schraubenproduktion: Berechnung von kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten, Mindeststichprobenumfang n für P(X >= 200) >= 0,95,…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten beim Hypothesentest über Schraubenqualität (Stichprobe n = 200, Entscheidungsregel k <= 9): (1) Wahrscheinlichkeit, dass die Beschwerde zurückgewiesen wird (X <= 9)…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a: (1) Rechnerische Bestimmung des Zeitpunkts des Maximums von f(x) = 4000*x*e^(-0,4x) und Angabe des Maximalwerts. (2) Zeichnen des Graphen von f für 0 <= x <= 18 und Einzeichnen der…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: (1) Momentane Änderungsraten des Absatzes für Fitnessarmband und Smartwatch bei x = 5 Monaten vergleichen. (2) Anzahl der im ersten Jahr insgesamt verkauften Smartwatches ermitteln.…

GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist g(x) = 1/3 x^3 - 1/2 x^2 - 6x + 5. Bestimmen Sie die erste Ableitung g'(x) sowie die Extremstellen von g und die Art der Extremstellen.
• Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen bestimmen. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)*e^x+0,5*x^2-3*x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Flächeninhalt zwischen f und g…
• Aufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl m mit m < 0, für die der Graph von f(x)=x^2 und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.
• Aufgabe d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E in Parameterform. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E.
• Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B(8|6|0) und C(4|3|z), wobei z eine positive reelle Zahl ist. (1) Zeigen Sie, dass Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis AB ist. (2) Das Dreieck hat Flächeninhalt…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Aufgabe B1: Untersuchung der Funktion f(x) = 9·x·e^(-1,5x). Bestimmung von Nullstelle, Extrem- und Wendepunkt, größter/kleinster Steigung. Dreiecksfläche OPQ_u, Begründung und Extremum.…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b)(1): Flächeninhalt A berechnen, den der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = 6 einschließen. Teilaufgabe c)(1)(ii): Geometrische Bedeutung der linken Seite von Bedingung III…
• Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass f(x) = f(-x) für alle x ∈ ℝ gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Betonelemente der Skatebahn (Differentialrechnung): a)(2) Höhenunterschied zwischen höchstem und tiefstem Punkt bei E2, (3) Knickfreier Übergang von E1 zu E2 nachweisen, (4)…
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie eine Gleichung der ganzrationalen Funktion zweiten Grades g, deren Graph im Punkt B (x = 4,8) sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit f übereinstimmt und deren tiefster…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben b und e: Ermittlung von Materialkosten und Dimensionierung der Betonelemente E2, E3 und E4 mithilfe bestimmter Integrale.
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Im kartesischen Koordinatensystem mit A(0|0|0), B, C(0|100|0), D(0|0|246), E(48|64|246), F(0|100|246) und G(0|0|146): a) Koordinaten von B angeben; für G_a(0|0|a) zeigen, dass Dreieck G_aEF in E…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgabe c: (1) Zeigen, dass die gegebene Gleichung eine Parametergleichung der Ebene der Dachfläche GEF ist. (2) Rechnerisch zeigen, dass die Gerade g einen Punkt der dreieckigen Dachfläche GEF…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und b… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a: Erstellung eines Baumdiagramms zur zweistufigen Qualitätskontrolle (Schraubenkörper, Beschichtung) sowie Berechnung von Pfadwahrscheinlichkeiten (P(E1), P(E2)) und einer bedingten…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben b und c: Berechnung kumulierter Binomialwahrscheinlichkeiten (P(X ≤ 20)), Bestimmung des minimalen Stichprobenumfangs für eine geforderte Erfolgsanzahl (n ≥ 215), Ermittlung der…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Tests und In… · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: Entscheidungsregel eines Hypothesentests untersuchen und Fehlerwahrscheinlichkeiten berechnen. (1) P(X <= 9) für n=200, p=0,08; (2) P(X >= 10) für n=200, p=0,045.
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a: (1) Rechnerische Bestimmung des Zeitpunkts des Maximums der momentanen Änderungsrate sowie des maximalen Werts. (2) Zeichnen des Graphen von f für 0 ≤ x ≤ 18 und Markieren der Punkte…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: Vergleich der momentanen Änderungsraten für das Fitnessarmband und die Smartwatch nach 5 Monaten, Bestimmung des Gesamtabsatzes an Smartwatches im ersten Jahr (12 Monate) mittels…

GK · Haupttermin · GTR (2022)

Themen der Prüfung: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe A1 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktion g(x) = 1/3 x³ - 1/2 x² - 6x + 5. (1) Geben Sie eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von g an. (2) Berechnen Sie die Extremstellen von g und die Art der Extremstellen.
• Aufgabe A1 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)e^x und g(x)=x-3. (1) Bestimmen Sie die beiden Schnittstellen der Graphen. (2) Zeigen Sie, dass D(x)=(4-x)e^x + 0.5x^2 - 3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3)…
• Aufgabe A1 c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.
• Aufgabe A1 d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E in Parameterform. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E.
• Aufgabe A1 e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B(8|6|0) und C(4|3|z) mit z > 0. (1) Zeigen Sie, dass Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis AB ist. (2) Das Dreieck hat den Flächeninhalt 35. Bestimmen Sie den Wert…
• Aufgabe A2 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktion g(x) = 1/3 x³ - 1/2 x² - 6x + 5: Funktionsgleichung der ersten Ableitung angeben sowie die Extremstellen und deren Art berechnen.
• Aufgabe A2 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  b) Gegeben sind f(x) = (x-3)e^x und g(x) = x-3. (1) Schnittstellen beider Graphen angeben. (2) Zeigen, dass D(x)=(4-x)e^x + 0,5x^2 - 3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist. (3) Flächeninhalt…
• Aufgabe A2 c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben ist f(x) = x^2. Bestimmen Sie die reelle Zahl m < 0, für die der Graph von f und die Gerade y = m·x eine Fläche mit dem Inhalt 36 einschließen.
• Aufgabe A2 d · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Pia wirft n=100 Pfeile mit Trefferwahrscheinlichkeit p=0,8. (1) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. (2) Geben Sie einen Term für P(X=80) an. (3) Geben Sie einen Term für…
• Aufgabe A2 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Gegeben ist ein unvollständiges Histogramm einer Binomialverteilung mit n=4 und p=0,5 sowie P(X=0)=0,0625. Geben Sie begründet P(X=3) und P(X=4) an und zeichnen Sie die fehlenden Säulen ein.
• Aufgabe A3 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktion g(x) = 1/3 x³ - 1/2 x² - 6x + 5: Funktionsgleichung der ersten Ableitung g'(x) angeben sowie Extremstellen und deren Art berechnen.
• Aufgabe A3 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben f(x)=(x-3)e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen angeben. (2) Zeigen, dass D(x) Stammfunktion von d(x) ist. (3) Flächeninhalt zwischen f und g ermitteln.
• Aufgabe A3 c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie m < 0, sodass der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche von 36 einschließen.
• Aufgabe A3 d · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B(8|6|0) und C(4|3|z) mit z > 0. (1) Zeigen, dass das Dreieck ABC gleichschenklig mit der Basis AB ist. (2) Den Wert von z bestimmen, für den das Dreieck den…
• Aufgabe A3 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 100 und p = 0,8. (1) Erwartungswert E(X) und Standardabweichung σ(X) berechnen. (2) Term für P(X = 80) angeben. (3) Term für P(X ≥ 1) angeben und begründen,…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Umfassende Analysis-Aufgabe zu f(x) = 9·x·e^(-1,5x): Nullstellen, Ableitung, Extrem- und Wendepunkte, globale Steigungsextrema, Dreiecksfläche OPQ_u, Tangente t mit Integralflächen und…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben b(1) und c(1)(ii): Berechnen des Flächeninhalts A zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und x=6 sowie Erläutern der linken Seite der Integralgleichung aus Bedingung III.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben a und e zu Aufgabe B2: Analyse der Modellierungsfunktion f (Symmetrie, maximaler Höhenunterschied, Knickfreiheit am Übergang zu E1, maximale Steigung) sowie Untersuchung der gestreckten…
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe c: Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g zweiten Grades, deren Graph im Punkt B (x = 4,8) sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit f übereinstimmt und deren tiefster…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnung der Materialkosten für das Betonelement E2 mittels Integral über f(x) sowie Analyse und Modellierung von Kosten und Längen für die Elemente E3 und E4 über die Funktion g(x).
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Aufgabe B3 (Analytische Geometrie: Dreieckiges Prisma und Wolkenkratzer). Teilaufgaben a(1)-(4), b(1)-(2) und c(3): Bestimmung von Punkt B, Nachweis des rechten Winkels mit dem Skalarprodukt,…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgaben c(1) und c(2): Zeigen, dass eine gegebene Parametergleichung die Ebene der Dachfläche GEF beschreibt, und rechnerischer Nachweis, dass eine gegebene Gerade g (Flugbahn eines Lufttaxis)…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Aufgabe B4 a: Baumdiagramm zur Qualitätskontrolle (Schraubenkörper und Beschichtung) erstellen, Wahrscheinlichkeiten für fehlerfreie Schrauben und fehlerhafte Beschichtung berechnen sowie bedingte…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe B4 b und c: Binomialverteilung anwenden (kumulierte Wahrscheinlichkeit für maximal 20 fehlerhafte Schrauben, Bestimmung des Stichprobenumfangs n für mindestens 200 fehlerfreie Schrauben,…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: Beurteilung der Beschwerde anhand von Fehlerwahrscheinlichkeiten bei n = 200 Schrauben und einer Entscheidungsregel von maximal 9 fehlerhaften Schrauben. (1) Ermitteln der…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a zu Fitnessarmbändern: (1) Ableitung f'(x) nachweisen, (2) rechnerisch den Zeitpunkt maximaler Änderungsrate und den maximalen Wert bestimmen, (3) Graphen für 0 <= x <= 18 zeichnen, (4)…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: (1) Momentane Änderungsraten des Absatzes für Fitnessarmband und Smartwatch für x = 5 Monate vergleichen. (2) Anzahl der im ersten Jahr verkauften Smartwatches bestimmen (Integral von…

GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Themen der Prüfung: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist g(x) = 1/3 x^3 - 1/2 x^2 - 6x + 5. Bestimmen Sie die erste Ableitung g'(x) sowie die Extremstellen von g und deren Art.
• Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und g(x)=x-3. (1) Schnittstellen bestimmen, (2) zeigen, dass D(x)=(4-x)*e^x + 0,5x^2 - 3x eine Stammfunktion von d(x)=g(x)-f(x) ist, (3) Flächeninhalt zwischen den Graphen…
• Aufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben ist f(x)=x^2. Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl m mit m < 0, für die der Graph von f und die Gerade y=m*x eine Fläche des Inhalts 36 einschließen.
• Aufgabe d · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E.
• Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B(8|6|0) und C(4|3|z). (1) Zeigen Sie, dass Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis AB ist. (2) Bestimmen Sie z für Flächeninhalt 35.
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktion f(x) = 9·x·e^(-1,5x) (Kurvendiskussion: Nullstelle, Ableitung, Hochpunkt, Wendepunkt, Extremsteigungen), Untersuchung von Dreiecken OPQ_u unter dem Graphen,…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b(1): Berechnen des Flächeninhalts A, der vom Graphen von f, der x-Achse und der Geraden x = 6 eingeschlossen wird. Teilaufgabe c(1)(ii): Erläutern der linken Seite der Bedingung III:…
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Betonelemente der Skatebahn (Differentialrechnung): Symmetriebegründung f(x)=f(-x), Berechnung des maximalen Höhenunterschieds im Bereich von E2, Nachweis des knickfreien Übergangs…
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe c: Ermitteln Sie eine Gleichung der ganzrationalen Funktion g zweiten Grades, deren Graph im Punkt B (x = 4,8) sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit f übereinstimmt und…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben b und d: Berechnung der Materialkosten von Betonelementen mittels bestimmter Integrale und Aufstellen von Gleichungen zur Kostenbegrenzung.
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben ist ein dreieckiges Prisma ABCDEF mit Punkten A(0|0|0), C(0|100|0), D(0|0|246), E(48|64|246), F(0|100|246) und G_a(0|0|a). Zu bestimmen sind Koordinaten von B, Rechtwinkligkeit von G_a EF in…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgabe c(1) und c(2): Parametergleichung der Dachflächen-Ebene nachweisen und Schnittpunkt der Fluggeraden mit der Dachfläche untersuchen.
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Aufgabe B4 Teilaufgabe a: Erstellung eines Baumdiagramms zur Produktion von Schrauben (Schraubenkörper und Beschichtung), Berechnung von P(E1) und P(E2) sowie einer bedingten Wahrscheinlichkeit.
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe B4 Teilaufgaben b und c: Binomialverteilte Zufallsgrößen mit fehlerhaften und fehlerfreien Schrauben. Berechnung kumulierter Wahrscheinlichkeiten P(X <= 20), Ermittlung des…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  d) Beurteilung einer Entscheidungsregel für eine Kundenbeschwerde: (1) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Firmenleitung die Beschwerde zurückweist (höchstens 9 fehlerhafte Schrauben unter…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a zu Aufgabe B5: Untersuchung der momentanen Änderungsrate des Absatzes von Fitnessarmbändern f(x) = 4000·x·e^(-0,4x). (1) Ableitung f'(x) nachweisen; (2) Rechnerische Bestimmung des…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: (1) Momentane Änderungsraten von Fitnessarmband und Smartwatch bei x = 5 Monaten vergleichen. (2) Anzahl der im 1. Jahr insgesamt verkauften Smartwatches bestimmen. (3) Untersuchen, ob…

GK · Nachtermin · CAS (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Stickstoffdioxidkonzentration k(t) = 0,75t² - 8t + 60 für 0 <= t <= 10 (t in Stunden seit 8 Uhr): (1) Höhe der Konzentration um 18 Uhr bestimmen. (2) Wert des Differenzenquotienten…
• Aufgabe b - Nullstelle und Achsenschnittpunkt · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Für f(x) = (2x + 10) * e^(5x + 3): (1) Nullstelle von f und Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse angeben.
• Aufgabe b - Steigung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Für f(x) = (2x + 10) * e^(5x + 3): (2) Steigung des Graphen von f an der Stelle x = -2 rechnerisch bestimmen.
• Aufgabe c - Integralberechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie das bestimmte Integral der ganzrationalen Funktion f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.
• Aufgabe c - Stammfunktionsgraph · Graphen von f, f′ und F deuten
  (2) In den Abbildungen 2a und 2b sind die Graphen der Funktionen A und B dargestellt. Genau eine dieser Funktionen ist keine Stammfunktion von f. Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche der…
• Aufgabe d - Punktprobe · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Zeigen Sie, dass der Punkt P(10|8|5) auf der Geraden g liegt.
• Aufgabe d - Punkte mit festem Abstand · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte auf der Geraden g, die zum Punkt Q den Abstand 35 LE haben.
• Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben ist ein Parallelogramm OABC mit Diagonalen e und f. (1) Bestimmen, welcher der Vektoren u = OA + AB bzw. v = OA - AB zur Diagonale f gehört. (2) Bei gegebenen Punkten A(2|0|2*sqrt(3)) und…
• Aufgabe d · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Ein Multiple-Choice-Test hat Trefferwahrscheinlichkeit p = 1/4 durch Raten. Der Erwartungswert ist E(X) = 6. (1) Gesamtfragenanzahl ermitteln. (2) Term für P(X = 6) bei n = 24 angeben. (3) Anhand…
• Aufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 4 und p = 0,5. (1) Ermitteln Sie die in der Tabelle fehlenden Werte P(X = 1), P(X = 2) und P(X = 3). (2) Entscheiden Sie begründet, welche…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a(1)-(3): Bestimmung von Funktionswert f(2) und Interpretation, rechnerische Ermittlung der Maximalstelle t_max und der maximalen Geschwindigkeit, sowie Bestimmung und rechnerischer…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Aufgabe B1 (Integralrechnung) Teile a(4), b und c: Bestimmung von Stammfunktionen und Anfangsbedingungen, Strecken- und Zeitberechnungen anhand von Integralen über f(t) und g(t), sowie Modellierung…
• Aufgabe B2 - Steckbriefaufgabe · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe a: Eine ganzrationale Funktion vierten Grades f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, verläuft durch den Ursprung und hat einen Wendepunkt bei W_2(1 | -5/8). Ermitteln Sie eine…
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b: Lokale Extrema von f ermitteln. Teilaufgabe e: Flächeninhaltsfunktion A(u) eines Dreiecks nachweisen und Maximum bestimmen.
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben c, d und f der Aufgabe B2: Sekante durch Wendepunkte und Integrale (Flächensymmetrie), Tangentennachweis und Flächenverhältnis zwischen f und Tangente t, Schnittpunkte und Dreiecksumfang…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgabe a(3): Parametergleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und D aufstellen. Teilaufgabe b: Rechnerisch prüfen, ob das Flugzeug entlang des Kurses g im ersten Viertel der Landebahn…
• Aufgabe B3 - Längen und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben ist die rechteckige Landebahn mit A(523|0|0), B(523|20|0) und D(0|0|65). Bestimmen Sie die Koordinaten von C, weisen Sie die Länge von AD rechnerisch nach, berechnen Sie Steigungswinkel und…
• Aufgabe B4 - Bedingte Wahrscheinlichkeiten · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a (1): Nachweisen, dass unter den Personen mit Blutgruppe B der Anteil mit Rhesusfaktor negativ etwa 18,2 % beträgt. (2): Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei zwei zufällig ausgewählten…
• Aufgabe B4 - Binomialverteilung · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgabe b: (1) Für n = 200 und p = 0,11 die Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 20) berechnen. (2) Für n = 200 und p = 0,43 die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A um…
• Aufgabe B4 - Hypothesentest · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: Fehler 1. und 2. Art bei einem einseitigen Hypothesentest zur Wirksamkeit der Blutgruppe A bestimmen (n = 1000, Entscheidungsregel k <= 84).
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a (1)-(3): Bestimmung der Zeitspanne mit Körpertemperatur >= 38 °C, rechnerische Ermittlung der Extremwerte und Temperaturspanne sowie Zeitpunkt des stärksten Temperaturanstiegs.
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: Bestimmung der durchschnittlichen Körpertemperatur des Dromedars im Zeitraum von 0 bis 20 Uhr mittels des Mittelwertsatzes der Integralrechnung.
• Aufgabe B5 - Steckbriefaufgabe · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe c: Lineare Funktion g für knickfreien Übergang im Punkt (20 | k(20)) bestimmen und Temperatur um 24 Uhr überprüfen.
• Aufgabe B5 - Funktionen und Scharen · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe d: Graphen der Funktionenschar f_a zuordnen und Parameter a unter einer Maximaltemperaturbedingung bestimmen.

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Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Konzentration und Änderungsraten von Stickstoffdioxid anhand einer quadratischen Modellfunktion: (1) Konzentration um 18 Uhr, (2) Differenzenquotient für das Intervall [8; 10] und…
• Aufgabe b(1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Nullstelle von f und Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse angeben für f(x) = (2x + 10) * e^(5x + 3).
• Aufgabe b(2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Steigung des Graphen von f an der Stelle x = -2 mithilfe der Produkt- und Kettenregel bestimmen.
• Aufgabe c(1) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.
• Aufgabe c(2) - Graphen von f, f' und F deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
  Begründen Sie anhand der Abbildungen 2a und 2b, welche der Funktionen A und B keine Stammfunktion von f ist.
• Aufgabe d(1) - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Zeigen Sie, dass der Punkt P(10|8|5) auf der Geraden g liegt.
• Aufgabe d(2) - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte auf der Geraden g, die zum Punkt Q den Abstand 35 LE haben.
• Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Parallelogramm OABC mit Diagonalen e und f: (1) Angegeben, welcher der Vektoren u = OA + AB bzw. v = OA - AB zur Diagonale f gehört. (2) Nachweis der Koordinaten von C(2|-3|√3) aus A und B. (3)…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a(1)-(3): Berechnung des Funktionswerts f(2) und Erläuterung im Sachzusammenhang; rechnerische Ermittlung der Maximalstelle t_max sowie der maximalen Geschwindigkeit; Bestimmung der…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Aufgabe B1 - Integralrechnung: Begründung und Angabe von Bedingungen für Stammfunktionen F(t), Analyse des Überholvorgangs eines Kamerafahrzeugs (g(t) = 45 m/s) mittels Integralen und…
• Aufgabe B2 - Steckbriefaufgaben · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f vierten Grades, achsensymmetrisch zur y-Achse, die durch den Ursprung verläuft und in W2(1 | -5/8) einen Wendepunkt hat. Ermitteln Sie eine…
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben b, d(1) und e: Extrempunkte von f bestimmen, Tangentennachweis an f an der Stelle 3/2 und Extremwertaufgabe zum Dreieck PQ_uR_u.
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben c, d(2) und f(2): Sekante zeichnen, Integrale zwischen f und Sekante s berechnen und per Symmetrie begründen, Flächenverhältnis zwischen f und Tangente t prüfen, Parameter a für…
• Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Für f(x) = 1/8 x^4 - 3/4 x^2 und p_(3/8)(x) = 3/8 x^2 besitzen die Graphen drei gemeinsame Punkte M, N und O(0|0). Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks MNO.
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgaben a(3), b, c(1) und c(3) der Aufgabe B3: Aufstellen einer Ebenengleichung für die Landebahn, rechnerische Prüfung des Aufsetzpunkts des Flugzeugs im ersten Viertel der Landebahn,…
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a(1), a(2), a(4) und c(2) zur Modellierung der Landebahn des Flughafens Lukla: - a(1): Koordinaten des Punktes C angeben. - a(2): Rechnerisch nachweisen, dass die Länge |AD| ca. 527 m…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und b… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a (1) Nachweis, dass der Anteil der Personen mit Rhesusfaktor negativ unter den Personen mit Blutgruppe B etwa 18,2 % beträgt. (2) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei zwei zufällig…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgabe b: (1) Wahrscheinlichkeit P(X >= 20) für Blutgruppe B (n = 200, p = 0,11). (2) Wahrscheinlichkeit P(E) für Blutgruppe A im 1,5-Sigma-Intervall um den Erwartungswert. Teilaufgabe c:…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Tests und In… · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: Bei n = 1000 zufällig ausgewählten Personen mit Blutgruppe A wird ein Hypothesentest mit Entscheidungsregel (kritischer Wert k <= 84) durchgeführt. Bestimmen Sie (1) die…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a: (1) Zeitspanne bestimmen, in der die Temperatur mindestens 38 °C beträgt. (2) Rechnerische Bestimmung der Temperaturspanne (Extremwerte). (3) Zeitpunkt des schnellsten Anstiegs…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: Bestimmung der durchschnittlichen Körpertemperatur des Dromedars im Zeitraum von 0 bis 20 Uhr mithilfe der Integralrechnung.
• Aufgabe B5 - Steckbriefaufgaben · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe c: Lineare Modellierung des Temperaturabfalls ab 20 Uhr mit knickfreiem Übergang bei t = 20. Bestimmung der Funktionsgleichung von g und Überprüfung für t = 24.
• Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  d) Gegeben ist die Funktionsschar f_a(t) = a * (-1/120 t^3 + 1/4 t^2 - 779/480 t) + 297/8 für a > 0. (1) Ordnen Sie die Graphen I, II und III den Parametern a = 0,2; 0,5; 1,5 zu. (2) Ermitteln Sie…

GK · Nachtermin · GTR (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe A1 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktion k(t) = 0,75t² - 8t + 60 für 0 <= t <= 10 mit t in Stunden seit 8 Uhr. (1) Bestimmen Sie die Konzentration um 18 Uhr. (2) Berechnen Sie den Wert des Differenzenquotienten…
• Aufgabe A1 b(1) - Funktionen · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Für f(x) = (2x + 10) · e^(5x + 3): Bestimmen Sie die Nullstelle von f sowie den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse.
• Aufgabe A1 b(2) - Ableitung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Für f(x) = (2x + 10) · e^(5x + 3): Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = -2 mithilfe der Ableitungsregeln.
• Aufgabe A1 c(1) - Integral · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie das Integral von f(x) von -1 bis 1.
• Aufgabe A1 c(2) - Stammfunktion · Graphen von f, f′ und F deuten
  In den Abbildungen 2a und 2b sind die Graphen der Funktionen A und B dargestellt. Genau eine dieser Funktionen ist keine Stammfunktion von f. Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche der…
• Aufgabe A1 d(1) - Punktprobe · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Zeigen Sie, dass der Punkt P(10|8|5) auf der Geraden g liegt.
• Aufgabe A1 d(2) - Abstand · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte auf der Geraden g, die zum Punkt Q den Abstand 35 LE haben.
• Aufgabe A1 e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Parallelogramm OABC mit Diagonalen e und f: (1) Angeben, welcher der Vektoren u = OA + AB und v = OA - AB zur Diagonale f gehört. (2) Zeigen, dass C die Koordinaten (2 | -3 | √3) hat. (3) Zeigen,…
• Aufgabe A2 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktion k(t) = 0,75t² - 8t + 60 für die Stickstoffdioxidkonzentration. Bestimmen Sie k(10), berechnen Sie (k(10)-k(8))/(10-8) und interpretieren Sie den Wert, berechnen Sie k'(8) und…
• Aufgabe A2 b(1) - Funktionen · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben ist f(x) = (2x+10) · e^(5x+3). Geben Sie die Nullstelle von f und den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse an.
• Aufgabe A2 b(2) - Ableitung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f(x) = (2x+10) · e^(5x+3) an der Stelle x = -2.
• Aufgabe A2 c(1) - Integral · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie das Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.
• Aufgabe A2 c(2) - Stammfunktion · Graphen von f, f′ und F deuten
  (2) In den Abbildungen 2a und 2b sind die Graphen der Funktionen A und B dargestellt. Genau eine dieser Funktionen ist keine Stammfunktion von f. Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche der…
• Aufgabe A2 d · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Multiple-Choice-Test (p = 1/4): (1) Anzahl Fragen bei Erwartungswert E(X) = 6 ermitteln. (2) Term für P(X = 6) bei n = 24 angeben. (3) Anhand gegebener Histogramme für n = 5, 6, 7 ermitteln, wie…
• Aufgabe A2 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 4 und p = 0,5. (1) Ermitteln Sie die in der Tabelle fehlenden Werte P(X = k) für k = 1, 2, 3. (2) Entscheiden Sie begründet, welche der Abbildungen 3…
• Aufgabe A3 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktion k(t) = 0,75t^2 - 8t + 60 für 0 <= t <= 10. Berechnen Sie: (1) Die Konzentration um 18 Uhr (t = 10). (2) Den Wert des Differenzenquotienten (k(10) - k(8)) / (10 - 8) und seine…
• Aufgabe A3 b(1) - Funktionen · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben ist f(x) = (2x + 10) * e^(5x + 3). Geben Sie die Nullstelle von f und den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse an.
• Aufgabe A3 b(2) - Ableitung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist f(x) = (2x + 10) * e^(5x + 3). Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = -2.
• Aufgabe A3 c(1) - Integral · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie das Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.
• Aufgabe A3 c(2) - Stammfunktion · Graphen von f, f′ und F deuten
  In den Abbildungen 2a und 2b sind die Graphen der Funktionen A und B dargestellt. Genau eine dieser Funktionen ist keine Stammfunktion von f. Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche der…
• Aufgabe A3 d(1) - Punktprobe · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Zeigen Sie, dass der Punkt P(10|8|5) auf der Geraden g liegt.
• Aufgabe A3 d(2) - Abstand · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte auf der Geraden g, die zum Punkt Q den Abstand 35 LE haben.
• Aufgabe A3 e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  e) Multiple-Choice-Test: p = 1/4. Erwartungswert ist 6. (1) Anzahl Fragen n ermitteln. (2) Term für P(X=6) bei n=24 angeben. (3) Anhand der Histogramme ermitteln, wie viele Fragen Jonas mindestens…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Geschwindigkeitsfunktion f(t) = 35t · e^(-t/6) eines Dragsters: (1) Funktionswert f(2) und Bedeutung im Sachzusammenhang; (2) rechnerische Bestimmung der Maximalstelle t_max und der…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben a(4), b und c: Streckenfunktion F(t), Überholvorgang mit Kamerafahrzeug über Integrale modellieren, Zielliniendurchfahrt und Bremsvorgang bis zum Stillstand grafisch und rechnerisch…
• Aufgabe B2 - Steckbriefaufgabe · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln einer Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades aus Achsensymmetrie zur y-Achse, Durchgang durch den Ursprung und Wendepunkt W_2(1 | -5/8).
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b: Rechnerische Ermittlung der Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von f(x) = (1/8)x^4 - (3/4)x^2. Teilaufgabe d(1): Rechnerischer Nachweis, dass t(x) = -(9/16)x - 27/128…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnung von Integralen und Flächeninhalten zwischen den Graphen von f, Sekante s, Tangente t und Parabel pa: Nachweis von Integralwerten, Flächenverhältnissen und Ansatz zur Flächenhalbierung.
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgaben a(3), b und c(1): Parametergleichung der Ebene E aufstellen, rechnerische Prüfung des Aufsetzpunkts des Flugzeugs im ersten Viertel der Landebahn und Beschreibung der Lage der Geraden m…
• Aufgabe B3 - Längen und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a(1), a(2), a(4), c(2) und c(3): Koordinaten von Punkt C angeben, Streckenlänge |AD| nachweisen, Steigungswinkel und Steigung in Prozent berechnen, Orthogonalität des Normalenvektors v…
• Aufgabe B4 - Bedingte Wahrscheinlichkeiten · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a (1)-(2): Bedingte Wahrscheinlichkeit für Rhesusfaktor negativ bei Personen mit Blutgruppe B nachweisen (18,2 %) und Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei zwei zufällig ausgewählten…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Binomialverteilung · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Binomialverteilte Zufallsgrößen bzgl. Blutgruppen untersuchen: Wahrscheinlichkeiten für Mindestanzahl und Sigma-Umgebung berechnen sowie Mindeststichprobenumfang für 95 % Sicherheit bestimmen.
• Aufgabe B4 - Hypothesentest · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: Bei einer Stichprobe von n = 1000 Personen mit Blutgruppe A wird ein Test durchgeführt. Ablehnungsbereich ist S <= 84. (1) Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (p =…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a: (1) Zeitspanne ermitteln, in der die Körpertemperatur mindestens 38 °C beträgt. (2) Rechnerische Bestimmung der Temperaturspanne (Differenz Maximum und Minimum). (3) Zeitpunkt des…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: Berechnung der durchschnittlichen Körpertemperatur des Dromedars im Intervall von 0 bis 20 Uhr mittels des Mittelwerts eines Integrals.
• Aufgabe B5 - Funktionenscharen · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe c: (1) Zuordnung der Graphen I, II und III der Funktionenschar fa(t) zu den Werten a = 0,2, a = 0,5 und a = 1,5. (2) Bestimmung des maximalen Werts für a > 0, sodass die Körpertemperatur…

GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgaben a)(1) und b)(1): Funktionswert f(2) berechnen und im Sachkontext deuten, sowie Graph von g(t)=45 einzeichnen und berechnen, wie lange das Kamerafahrzeug schneller als der Dragster ist.
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a)(2) und a)(3): Ermitteln Sie rechnerisch die Maximalstelle t_max der Geschwindigkeitsfunktion f(t)=35t·e^(-t/6) sowie die maximale Geschwindigkeit. Bestimmen Sie zudem die…
• Aufgabe B1 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgaben c)(2) und c)(3): Lineare Bremsfunktion b(t) bestimmen, den Bremsvorgang in Abbildung 2 einzeichnen und rechnerisch zeigen, dass der Dragster innerhalb der 805 m langen Bremszone zum…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben zu Integralrechnung und Stammfunktionen beim Dragsterrennen: a)(4) Begründung der Nichteindeutigkeit von F'(t)=f(t) und Angabe einer Anfangsbedingung F(0)=0; b)(2) Strecke des…
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ganzrationale Funktion vierten Grades bestimmen, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, durch den Ursprung verläuft und in W2(1 | -5/8) einen Wendepunkt besitzt.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b: Rechnerische Ermittlung der Koordinaten der lokalen Extrempunkte von f(x) = 1/8 x^4 - 3/4 x^2. Teilaufgabe d)(1): Rechnerischer Nachweis, dass t(x) = -9/16 x - 27/128 eine Tangente an…
• Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe e)(1): Zeichnen des Graphen der Funktion p_0,3(x) = 0,3*x^2 in Abbildung 2. Teilaufgabe e)(2): Ermitteln der gemeinsamen Stellen x_1, x_2 und x_3 von p_a(x) = a*x^2 und f(x) in…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Integralrechnung mit ganzrationaler Funktion f vierten Grades: - c)(1)-(4): Sekante durch Wendepunkte einzeichnen, Integral nachweisen, Teilintegrale bestimmen und anhand von Symmetrie und…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgaben a)(3), b) und c)(1): Aufstellen einer Ebenengleichung in Parameterform für die Landebahn ABCD; rechnerische Prüfung mittels Schnittpunkt Gerade-Ebene, ob ein Flugzeug im ersten Viertel…
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a)(1)-(2), a)(4) und c)(2)-(3): Bestimmung der Koordinaten des Punktes C, rechnerischer Nachweis der Länge |AD|, Berechnung von Steigungswinkel und prozentualer Steigung, Nachweis der…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Gegeben ist eine Tabelle mit der Verteilung der Blutgruppen und des Rhesusfaktors in Deutschland. (1) Nachweisen, dass unter den Personen mit Blutgruppe B der Anteil mit Rhesusfaktor negativ etwa…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben b und c: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsgrößen (mindestens 20 Personen mit Blutgruppe B; Intervall der 1,5-Standardabweichungen um den Erwartungswert für…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: Einseitiger Hypothesentest mit n = 1000. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art P(S <= 84) bei p = 0,1 sowie den Fehler 2. Art P(T >= 85) bei p = 0,08.
• Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgaben a)(1) und c)(1)-(2) zur Körpertemperatur eines Dromedars: Berechnen der Dauer mit einer Temperatur von mindestens 38 °C, Zuordnung von Kurvenscharen fa(t) zu Werten von a, und Bestimmung…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum [0;20] und ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur am schnellsten ansteigt.
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie die durchschnittliche Körpertemperatur des Dromedars in dem betrachteten Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr mithilfe des Mittelwerts eines Integrals.
• Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktion k(t) = 0,75t² - 8t + 60 für 0 ≤ t ≤ 10, die die Stickstoffdioxidkonzentration in μg/m³ ab 8 Uhr beschreibt. Berechnen Sie (1) die Konzentration um 18 Uhr, (2) den mittleren…
• Aufgabe b - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben ist die Funktion f(x) = (2x + 10)·e^(5x+3). Geben Sie die Nullstelle von f und den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse an.
• Aufgabe b - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktion f(x) = (2x + 10)·e^(5x+3). Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = -2.
• Aufgabe c - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 in den Grenzen von -1 bis 1.
• Aufgabe c - Graphen deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
  Teilaufgabe c(2): Anhand der Graphen von f und den Stammfunktionskandidaten A und B begründen, welche der Funktionen keine Stammfunktion von f ist.
• Aufgabe d - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Zeigen Sie, dass der Punkt P(10 | 8 | 5) auf der Geraden g liegt.
• Aufgabe d - Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte auf der Geraden g, die zum Punkt Q den Abstand 35 LE haben.
• Aufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Aufgabe e: (1) Angeben, welcher Vektor zur Diagonale f gehört; (2) Nachweisen, dass C(2 | -3 | √3) gilt; (3) Nachweisen, dass die Diagonalen e und f senkrecht zueinander verlaufen.

GK · Teil A · Analysis (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände

• Aufgabe 1.1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass die Gerade g durch die Hochpunkte von G_f die Gleichung y = 2 hat.
• Aufgabe 1.1 - Integralrechnung: Flächen und Bestä… · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die in der Abbildung grau markiert ist.
• Aufgabe 1.2 · Funktionen und ihre Eigenschaften
  a) Aus dem Graphen der Exponentialfunktion f(x) = a * b^x die Parameter a und b bestimmen. b) Zeigen, dass eine Verschiebung des Graphen von g(x) = 3^x um 2 in negative x-Richtung auch durch eine…
• Aufgabe 1.3 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben sind die Funktionen f(x) = 1/x^2 und g(x) = 1/(x-1)^2 - 5. Bestimmen Sie die beiden Verschiebungen von f zu g, ermitteln Sie die Ableitung f'(x) und berechnen Sie unter Verwendung dieses…
• Aufgabe 2 · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Reelle Zahl m < 0 bestimmen, für die der Graph von f(x) = x^2 und die Gerade y = m·x eine Fläche vom Inhalt 36 begrenzen.

GK · Teil A · Analytische Geometrie (2022)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben ist die Ebene E: 3x - 2y = 0. a) Prüfen Sie, ob der Punkt (1|1,5|7) in E liegt. b) Beschreiben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem. c) Bestimmen Sie die reelle Zahl s, für die…
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B(8|6|0) und C(4|3|z) mit z > 0. a) Zeigen, dass Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis AB ist. b) Dreieck ABC hat Flächeninhalt 35. Wert von z bestimmen.
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Lagebeziehung zweier paralleler Geraden untersuchen (zeigen, dass sie echt parallel und nicht identisch sind) und Gleichung einer parallelen Teilungsgeraden aufstellen, die PQ im Verhältnis 1:3 teilt.
• Aufgabengruppe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Die Punkte P(1|1|1) und Q(1|1|3) sind benachbarte Eckpunkte eines Quadrats. Das Quadrat liegt in der Ebene mit der Gleichung x_1 - x_2 = 0. Berechnen Sie die Koordinaten eines Punkts, der als…

GK · Teil A · Lineare Algebra (2022)

Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse

• Aufgabengruppe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Gegeben ist ein Übergangsgraph für die Kundenwechsel zwischen den drei Stromanbietern A, B und C von einem Quartal zum nächsten. a) Bestimmen Sie, welche der beiden Darstellungen I und II für…
• Aufgabengruppe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Eine Matrix A heißt selbstinvers, wenn A^-1 = A gilt. Für M = ((a, b), (c, -a)) mit a,b,c in R ist zu zeigen, dass b·c <= 1 gilt, wenn M selbstinvers ist. Zudem sind für a = 5 passende Werte für b…

GK · Teil A · Stochastik (2022)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Zufallsexperiment mit einer Münze (+, -) und zwei vierseitigen Tetraedern (1 bis 4). a) Alle Ergebnisse angeben, die den Zahlenwert 3 liefern. b) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Zahlenwert…
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  60 % der Kunden eines Reiseunternehmens reisen gerne in die Region A, 30 % in die Region B, 20 % in jede der beiden Regionen gerne. a) Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde, der gerne in…
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Mehrstufige Zufall… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Auf drei Kisten werden drei rote und drei gelbe Kugeln zufällig verteilt, wobei in jede Kiste zwei Kugeln gelegt werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in die erste Kiste eine rote…
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 - Zufallsgrößen und… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kisten an, in die verschiedenfarbige Kugeln gelegt werden. Gegeben sind P(X=0)=0 und P(X=1)=0,6. Bestimmen Sie P(X=2) und P(X=3).
• Aufgabengruppe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Ein Glücksrad hat drei Sektoren (blau, rot, gelb). P(blau) = 1/5. Bei zweimaligem Drehen ist Ereignis A: „Einmal rot und einmal gelb“. Die Größe des roten Sektors maximiert P(A). Ermitteln Sie die…

GK · Teil B · Analysis (CAS) (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände

• Aufgabe 1 (MMS 1) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Analysis-Aufgabe (Carport-Modellierung): Tangentengleichung im Punkt Q(2|f(2)), Ableitungsform f'(x) = a(x - b)(x - c)², Monotonie- und Tangentenbeurteilung mithilfe von f', Nachweis der Gesamtlänge…
• Aufgabe 1 (MMS 1) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe d: Der Graph der Funktion h mit h(x) = f'(x+4) - f'(4), wobei f'(4) = 1/10, ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs. Geben Sie die Symmetrie des Graphen von f' an und begründen Sie…
• Aufgabe 1 (MMS 1) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Flächenberechnung der seitlichen Carport-Verkleidung (abzüglich 20 cm Bodenstreifen) über die gesamte Länge von 11,50 m mittels Trapezformel und bestimmtem Integral von f(x).
• Aufgabe 1 (MMS 2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben 1.a bis 1.d: Untersuchung der momentanen Absatzänderungsrate (Extremstellen, Wendepunkte, Funktionsgraph).
• Aufgabe 1 (MMS 2) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben 1.e und 1.f: Bestandsrechnung und Vergleich verkaufter Gesamtmengen über Integrale.
• Aufgabe 2 (MMS 2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe 2.a: Gleichung der Wendetangente t aufstellen, Schnittpunkt mit der x-Achse bei (20|0) nachweisen und t in die Abbildung einzeichnen.
• Aufgabe 2 (MMS 2) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe 2.b: Flächenstück zwischen Graph von h, Wendetangente t und x-Achse für 0 ≤ x ≤ 20 markieren und dessen Flächeninhalt berechnen.
• Aufgabe 2 (MMS 2) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe 2.c: Wert von b für Funktion h bestimmen, rechnerisch nachweisen, dass alle Graphen durch genau einen Punkt verlaufen, und dessen Koordinaten angeben. Teilaufgabe 2.d: Aussage beurteilen,…

GK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände

• Aufgabe WTR 1 - 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe a: Nullstelle von f angeben und anhand des Terms begründen. Teilaufgabe b: Ohne zu rechnen begründen, dass auch (-2|f(-2)) ein Wendepunkt von G_f ist.
• Aufgabe WTR 1 - 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe c: Zeigen, dass f'(x) = 1/16 * (x-2)^2 * (x+2)^2 gilt. Teilaufgabe d: Nachweisen, dass sich die Tangente im Ursprung und die Tangente im Wendepunkt W im Punkt (16/15 | 16/15) schneiden,…
• Aufgabe WTR 1 - 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  e) Geometrisch begründen, dass das Integral von 0 bis 2 über f(x)dx und der Term 1/2*(2 + 14/15)*(16/15) näherungsweise übereinstimmen. f) Prozentuale Abweichung des Näherungswerts vom exakten…
• Aufgabe WTR 1 - 1 - Funktionsterme bestimmen (Steckbriefa… · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Für g(x) = a*sin(b*x) mit a,b > 0 ist 2 eine Extremstelle und g(2) = f(2). Werte für a und b ermitteln.
• Aufgabe WTR 1 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgaben a und b: Zeigen Sie rechnerisch, dass der Durchmesser der Grundfläche etwa 28 cm beträgt. Prüfen Sie rechnerisch, ob ein zylinderförmiger Pflanztopf mit Durchmesser 24 cm und Volumen 16…
• Aufgabe WTR 1 - 2 - Funktionsterme bestimmen (Steckbriefa… · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe c: Berechnen Sie denjenigen Wert von k für die Funktionenschar h_k(x) = k - 10/x^2 (k in ]4; +oo[), für den der Radius des oberen Rands des Übertopfs (Höhe 40 cm, also y = 4) doppelt so…
• Aufgabe WTR 2 - 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a: Schnittpunkte mit den Achsen, Begründung für Hochpunkt und Koordinaten des Hochpunkts angeben. Teilaufgabe d: Umfang des Tangentendreiecks berechnen und Koordinaten des…
• Aufgabe WTR 2 - 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe b: Grenzwert und asymptotisches Verhalten für x gegen Unendlich angeben. Teilaufgabe c: Passenden Graphen aus Abbildungen I, II, III begründet zuordnen. Teilaufgabe e: Schrittweise…
• Aufgabe WTR 2 - 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe f: Parameter a, b und k der Integralgleichung durch geometrische Transformationen bestimmen.
• Aufgabe WTR 2 - 2 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der vertikalen Bewegung eines Tauchroboters mit h(t) = 9/40 t^3 - 27/2 t^2 + 405/2 t für 0 <= t <= 30: a) Nachweis des Maximums bei t = 10 min mit h(10) = 900 m; b) Berechnung der in den…

GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2022)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

• Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Zeichnen Sie den Pyramidenstumpf ABCDEFGH in ein Koordinatensystem, bestimmen Sie das Volumen des Stumpfs und ermitteln Sie die Werte von w, für die der Winkel zwischen den Strecken P_wM und P_wH…
• Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Erläutern Sie das Vorgehen zur Bestimmung der x_3-Koordinate der Spitze S, bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden j mit der x_1x_3-Ebene und berechnen Sie den Parameter w, für den die Gerade HP_w…
• Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Die Ebene L enthält die Punkte C, G und F. Geben Sie eine Gleichung von L in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch S in L liegt.
• Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Kirchturmdach: Nachweis, dass CGSF eine Raute ist; Bestimmung der Symmetrieebene M_2; Berechnung des Innenwinkels bei S und der gesamten Dachfläche; Bestimmung des Abstandsverhältnisses der…

GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

• Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Geometrische Berechnungen und Nachweise an einer viereckigen Kletterwand (Parallelogrammform, vertikale Ausrichtung, Flächenteilung) und an zwei im Klettergarten abgespannten Stahlseilen (Zeichnung…
• Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Die Ebene L enthält die Punkte C, G und F. Geben Sie eine Gleichung von L in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch S in L liegt.
• Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben b bis f: Nachweis, dass das Viereck CGSF eine Raute ist; Bestimmung der Symmetrieebene M2 und Lagebeschreibung; Berechnung des Innenwinkels bei S (~46°) und des Dachflächeninhalts (~150…

GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse

• Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Übergangsprozess eines Transportunternehmens mit 150 Fahrzeugen an 3 Standorten A, B und C mit Übergangsmatrix M. Bestimmung des Übergangsdiagramms und Parameter p, q; Berechnung des prozentualen…

GK · Teil B · Stochastik (CAS) (2022)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Aufgabe 1 (a–d) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben a bis d: Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte anhand von Binomialverteilungen im Paketzentrum untersuchen.
• Aufgabe 1 (e–g) - Mehrstufige Zufallsexperimente… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe 1 (e–g): Sachzusammenhang in einer Vierfeldertafel für Ereignisse S und Z darstellen; untersuchen, ob der Anteil der Pakete mit Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter…
• Aufgabe 1 (a, b) - Mehrstufige Zufallsexperimente… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgaben 1a und 1b: Erstellen einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel zum Sachverhalt (Elektroauto-Kaufinteresse und Bioladen-Einkauf) sowie Beurteilen einer Aussage über den Anteil der an…
• Aufgabe 1 (c) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgabe 1c: Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass unter 30 ausgewählten Personen die Anzahl derjenigen ohne Kaufinteresse an einem Elektroauto mindestens doppelt so groß ist wie die Anzahl…
• Aufgabe 2 (a, b, d) - Mehrstufige Zufallsexperime… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgaben 2a, 2b und 2d: Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für keines der beiden Merkmale; Ermitteln des Anteils x und von P(B) inklusive Begründung durch stochastische Unabhängigkeit; Bestimmen…
• Aufgabe 2 (c) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichk… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Beschreiben eines Zufallsexperiments und Angabe des passenden Ereignisses im Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term 1 - 10 * 0,3 * 0,7^9 - 0,7^10 berechnet werden kann.

GK · Teil B · Stochastik (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Aufgabe WTR 1 (a-d) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben a bis d: Wahrscheinlichkeitsberechnungen mit der Binomialverteilung und Deutung von Termen im Kontext eines Paketzentrums.
• Aufgabe WTR 1 (e-g) · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgaben e bis g: Ausfüllen einer Vierfeldertafel für die Ereignisse S (Paket ist schwer) und Z (Paket hat Ziel A). Untersuchung der stochastischen Unabhängigkeit von S und Z bezüglich des…
• Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Aufgabe 1: a) Baumdiagramm zeichnen für Infektion und Krankheitsausbruch. b) Anteil der Menschen ermitteln, bei denen die Krankheit nicht ausbricht. c) Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein…
• Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe 2: Bei zwei Studien ist die Zahl der Infizierten binomialverteilt mit p = 1/3. a) Bei Erwartungswert E(X) = 200: Berechnen Sie die Anzahl der Teilnehmenden n sowie P(X = 200). b) P(X = 30) ≈…
• Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 3 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe 3: Verteilungsdiagramme dreier Risikogruppen A, B und C bei 1000 Infizierten. a) Beurteilung von zwei Aussagen anhand der Diagramme. b) Beurteilung der Behauptung, dass für B(1000; p) die…

LK · Haupttermin · CAS (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe A1 - Teilaufgabe a(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass der Graph von f_2 symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe a(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Es gibt einen Wert von k, für den x = 1 eine Wendestelle von f_k ist. Berechnen Sie diesen Wert von k.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  (1) Zeigen Sie rechnerisch: f_k'(x) = (-k*x + 1/k)*e^(-k^2*x). (2) Zeigen Sie, dass 1/k^2 eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von k die Funktionen…
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Schnittstellen von f(x) = (x-3)e^x und h(x) = x-3 bestimmen und den Inhalt der eingeschlossenen Fläche ermitteln.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe d · Graphen von f, f′ und F deuten
  Aus dem Graphen einer Stammfunktion F den Wert des Integrals von 1 bis 7 über f(x)dx und f(1) näherungsweise bestimmen.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E. (1) Weisen Sie nach, dass die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft. (2) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe f · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(-5|5|-3) und B(-1|1|-1). Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke AB an und bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von AB, die parallel zur…
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe a(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass der Graph von f_2 symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe a(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Berechnen Sie den Wert von k, für den x = 1 eine Wendestelle von f_k ist.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Zeigen Sie rechnerisch die erste Ableitung von f_k(x) und dass 1/k^2 eine Extremstelle ist. Untersuchen Sie, für welche Werte von k an dieser Stelle ein Minimum vorliegt.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und h(x)=x-3. (1) Rechnerisch die beiden Schnittstellen bestimmen. (2) Flächeninhalt zwischen den Graphen von h und f mit Stammfunktion D(x)=(4-x)*e^x + 0,5*x^2 - 3*x…
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe d · Graphen von f, f′ und F deuten
  Gegeben ist der Graph G_F einer Stammfunktion F von f. (1) Wert des Integrals int_1^7 f(x) dx bestimmen. (2) Grafisch näherungsweise den Funktionswert f(1) bestimmen.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Pia trifft im Mittel zu 80 % eine Dartscheibe (Binomialverteilung mit n = 100, p = 0,8). (1) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. (2) Geben Sie einen Term an für die…
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Abbildung 2 zeigt die Dichtefunktion von A. (1) P(6 <= A <= 10) ≈ 68 %. Berechnen Sie P(A > 10). (2) B ist normalverteilt mit gleichem Erwartungswert wie A, aber größerer Standardabweichung.…
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe a(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben ist die Funktionenschar f_k(x) = x^4 + (2-k)x^3 - kx^2. Begründen Sie, dass der Graph von f_2 symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe a(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist f_k(x) = x^4 + (2-k)x^3 - kx^2. Es gibt einen Wert von k, für den x = 1 eine Wendestelle von f_k ist. Berechnen Sie diesen Wert von k.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist f_k(x) = (1/k)*x*e^(-k^2*x). (1) Zeigen Sie rechnerisch die erste Ableitung. (2) Zeigen Sie, dass 1/(k^2) eine Extremstelle ist und ermitteln Sie, für welche Werte von k ein Minimum…
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Schnittstellen von f(x) = (x-3)e^x und h(x) = x-3 bestimmen und den Inhalt der von beiden Graphen eingeschlossenen Fläche ermitteln.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe d · Graphen von f, f′ und F deuten
  Aus dem abgebildeten Graphen einer Stammfunktion F den Wert des Integrals int_1^7 f(x) dx sowie grafisch näherungsweise den Funktionswert f(1) bestimmen.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe e · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Mittelpunkt der Strecke AB mit A(-5|5|-3) und B(-1|1|-1) angeben und Gleichung der Mittelsenkrechten bestimmen, die parallel zur x1x3-Ebene verläuft.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n=100 und p=0,8: (1) Erwartungswert und Standardabweichung berechnen; (2) Term für genau 80 Treffer angeben, davon 10 in den ersten 10 Würfen; (3) Term für…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Analysis der Funktion f(x) = 9(x-3)e^(-1,5(x-3)) und Schar g_k(x) = 4k²(x-3)e^(-k(x-3)): Schnittpunkte mit Achsen, Hochpunkte, Dreiecksfläche, Tangente t, Bedingungen für Flächeninhalt,…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben a(2), a(3) und c(4): Flächeninhalte und uneigentliche Integrale bei f und der Schar g_k berechnen bzw. untersuchen.
• Aufgabe B2 - Symmetrie · Funktionen und ihre Eigenschaften
  a) (1) Begründen Sie, dass f(x) = f(-x) für alle x in R gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben a(2-4), e(2) und f aus B2: Rechnerische Bestimmung des maximalen Höhenunterschieds im Bereich E2, Nachweis des knickfreien Übergangs bei E1, Überprüfung des Betrags der maximalen…
• Aufgabe B2 - Funktionsterm bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Die obere Randlinie von Element E3 soll durch eine ganzrationale Funktion g zweiten Grades modelliert werden, deren Graph im Punkt B (x = 4,8) sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung mit dem…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Materialkosten für E2 über das Integral von f(x) berechnen. Anschließend für E3 und E4 Gleichungen aufstellen, Kosten ermitteln und prozentuale Überschreitung berechnen.
• Aufgabe B2 - Geometrie · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Der Abschnitt E3 wird mit d = 7,5 m gebaut. Die Kamera befindet sich im Punkt K(x_K | 5). Ermitteln Sie den Wert von x_K, für den die Punkte B und C gleich weit von K entfernt sind.
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Parameterdarstellung der Dreiecksfläche GEF, Schnitt der Flugbahngeraden mit der Dreiecksfläche und Bestimmung des Scharparameters b für die Dachebene.
• Aufgabe B3 - Metrische Geometrie · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Metrische Berechnungen am Prisma und am Wolkenkratzer: Koordinaten von B, Orthogonalitätsnachweis Dreieck GaEF, Flächenberechnung GaEF mit Parameter a, Prismavolumen, prozentuale Volumenabnahme der…
• Aufgabe B4 - Bedingte Wahrscheinlichkeiten · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a: (1) Sachzusammenhang über Schraubenkörper und Beschichtung in einem zweistufigen Baumdiagramm darstellen. (2) Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Schraube mit fehlerhafter…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteil… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Binomial- und Normalverteilungsrechnungen zur Qualität von Schrauben und Schichtdicken (Teilaufgaben b, c und e). Berechnet werden u.a. P(X=15), n mind. für P(X>=200)>=0.95, n für Erwartungswert…
• Aufgabe B4 - Hypothesentest · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  d) 'Wind 24' se queja de que ca. el 8% de los tornillos suministrados son defectuosos. Se extraen 200 tornillos al azar y se realiza un test de hipótesis unilateral (izquierda) al 5% de significación…
• Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Untersuchung der Funktionenschar f_a: Nullstellen und Grenzwert von f_1, Einzeichnen des Koordinatensystems in Abb. 1, Steigung und y-Achsenabschnitt von f_0 sowie geometrische Deutung der…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Bestimmung des Parameters a und der Tangentensteigung für P(1|e) auf f_a, Bestimmung und Begründung der Anzahl der Wendestellen in Abhängigkeit von a sowie Begründung der Ortskurve y = x für alle…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe a(3): Geometrische Interpretation des Sachverhalts F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^2022 f_1(x) dx für u > 2022. Teilaufgabe d: Begründung unter Verwendung von Abbildung 2, dass ∫_{-0,5}^1 f_{-1}(x)…

LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a (1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass der Graph von f_2 symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
• Aufgabe a (2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Es gibt einen Wert von k, für den x = 1 eine Wendestelle von f_k ist. Berechnen Sie diesen Wert von k.
• Aufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktionenschar f_k(x) = (1/k) * x * e^(-k^2 * x). (1) Zeigen Sie rechnerisch die erste Ableitung. (2) Zeigen Sie, dass 1/k^2 eine Extremstelle ist und bestimmen Sie, für welche k…
• Aufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und h(x)=x-3. (1) Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen von f und h. (2) Ermitteln Sie den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche mithilfe der…
• Aufgabe d · Graphen von f, f′ und F deuten
  Aus dem Graphen der Stammfunktion F soll (1) der Integralwert von f(x) von 1 bis 7 bestimmt werden und (2) grafisch näherungsweise der Funktionswert f(1) ermittelt werden.
• Aufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E in Parameterform. (1) Weisen Sie nach, dass die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft. (2) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g…
• Aufgabe f · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind A(-5|5|-3) und B(-1|1|-1). Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke AB an und bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von AB, die parallel zur x1x3-Ebene…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Aufgabe B1 (Differentialrechnung): Schnittpunkte und Extrempunkte von f(x), Flächenberechnung des Dreiecks NPQu, Tangentenfunktion t(x) an f, Untersuchung der Schar g_k(x) (Schnittpunkte, Extrempunkt…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Aufgabe B1 - Integralrechnung: Teilaufgaben a)(2), a)(3), b)(1)(ii) und c)(4). Flächeninhalt unter f bis x=7, Grenzwert für w->unendlich und geometrische Bedeutung, Erläuterung der Integrale in…
• Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe a)(1): Begründen Sie, dass f(x) = f(-x) für alle x in R gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben a)(2)-(4), e) und f): Ermittlung des maximalen Höhenunterschieds im Bereich E2, Nachweis des knickfreien Übergangs zwischen E1 und E2, Überprüfung der maximalen Steigung von E2,…
• Aufgabe B2 - Steckbriefaufgaben · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie eine Gleichung der ganzrationalen Funktion g zweiten Grades für die obere Randlinie von Element E3, deren Graph im Punkt B (bei x = 4,8) mit f in Funktionswert und Steigung…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnung der Materialkosten für Betonelement E2 mittels Integral über f(x), Aufstellen von Integralgleichungen für die Länge d von E3 bei gegebenen Kosten sowie Berechnung der Kosten für E4 und der…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Aufgabe B3 b)(2), b)(3) und c)(1): Parameterform der dreieckigen Dachfläche GEF, Schnittpunkt mit der Geraden g des Lufttaxis und Bestimmung des Parameters b für die Ebenengleichung in…
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Aufgabe B3 a), b)(1), c)(2) und c)(3): Bestimmung von Koordinaten des Punktes B, Nachweis der Rechtwinkligkeit, Bestimmung des Parameters a über den Flächeninhalt, Berechnung von Prismen- und…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a: (1) Sachzusammenhang zur Schraubenfertigung in einem Baumdiagramm darstellen. (2) Bedingte Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass eine Schraube mit fehlerhafter Beschichtung einen…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben b), c) und e): Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung (b1), Bestimmung der Mindeststichprobengröße (b2), Mindestproduktion für Erwartungswert (c1), Wahrscheinlichkeit…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  d) „Wind 24" beschwert sich, dass ca. 8% der gelieferten Schrauben fehlerhaft seien. Es werden 200 Schrauben untersucht. (1) Bestimmen Sie eine Entscheidungsregel für einen Hypothesentest auf…
• Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Untersuchung von Schareigenschaften: Nachweis der einzigen Nullstelle und Grenzwert für x -> unendlich, Einzeichnen der skalierten Achsen in Abb. 1, Steigung und y-Achsenabschnitt von f_0 sowie…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Differentialrechnung an der Schar f_a: Bestimmung von a und der Tangentensteigung für P(1|e), Anzahl der Wendestellen in Abhängigkeit von a sowie Begründung der Ortskurve y = x der Extrempunkte.
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe a)(3): Geometrische Interpretation von F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^{2022} f_1(x) dx für u > 2022. Teilaufgabe d): Begründung mithilfe von Abbildung 2, dass ∫_{-0,5}^1 f_{-1}(x) dx = ∫_{0,5}^1…

LK · Haupttermin · GTR (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a - Symmetrie · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass der Graph von f_2 bezüglich der y-Achse ist.
• Aufgabe a - Wendestelle · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Für die Funktionenschar f_k(x) = x^4 + (2-k)*x^3 - k*x^2 soll der Wert von k berechnet werden, für den x = 1 eine Wendestelle von f_k ist.
• Aufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktionenschar f_k(x) = (1/k) * x * e^(-k^2 * x). (1) Zeigen Sie rechnerisch f'_k(x) = (-k*x + 1/k) * e^(-k^2 * x). (2) Zeigen Sie mit f''_k(1/k^2) = -k * e^(-1), dass 1/k^2 eine…
• Aufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Gegeben sind f(x)=(x-3)*e^x und h(x)=x-3. (1) Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen. (2) Ermitteln Sie den Inhalt der eingeschlossenen Fläche mithilfe der gegebenen…
• Aufgabe d · Graphen von f, f′ und F deuten
  Aus dem abgebildeten Graphen einer Stammfunktion F sollen (1) der Integralwert int_1^7 f(x) dx berechnet und (2) grafisch näherungsweise der Funktionswert f(1) ermittelt werden.
• Aufgabe e - Gerade und Ebene · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E. (1) Weisen Sie nach, dass die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft. (2) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E.
• Aufgabe f - Mittelsenkrechte · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(-5|5|-3) und B(-1|1|-1). Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke AB an und bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von AB, die parallel zur…
• Aufgabe e - Dartscheibe · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Pia wirft n = 100 Pfeile auf eine Dartscheibe (p = 0,8). (1) Erwartungswert und Standardabweichung von X berechnen. (2) Term für genau 80 Treffer angeben, davon 10 in den ersten 10 Würfen. (3) Term…
• Aufgabe f - Normalverteilung · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Dichtefunktion einer Normalverteilung A mit Erwartungswert 8. (1) P(A > 10) berechnen, wenn P(6 <= A <= 10) ≈ 68 % ist. (2) Einen möglichen Graphen der Dichtefunktion einer Zufallsgröße B mit…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Aufgabe B1 (LK): Analyse der Funktion f(x) = 9*(x-3)*e^(-1,5(x-3)) und der Funktionenschar g_k(x) = 4*k^2*(x-3)*e^(-k(x-3)). Bestimmung von Schnittpunkten, Hochpunkten, Dreiecksflächen,…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben a(2), a(3), b(1)(ii), c(3): Flächeninhalte, Integralterme und uneigentliche Integrale berechnen und deuten.
• Aufgabe B2 - Funktionen · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe a(1): Begründen Sie, dass f(x) = f(-x) für alle x in R gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung von Höhenunterschied, knickfreiem Übergang, maximaler Steigung, Kameraposition und Extremwerten einer Funktionsschar (Aufgaben a(2)-(4), e, f).
• Aufgabe B2 - Steckbriefaufgaben · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie eine Gleichung der ganzrationalen Funktion g zweiten Grades für Element E3, die bei B knickfrei an f anschließt und deren Tiefpunkt 3,6 m rechts von B liegt.
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie die Materialkosten für das Element E2 (Teilaufgabe b). Stellen Sie Gleichungen auf und berechnen Sie Kosten für E3 und E4 in Abhängigkeit von den Abmessungen (Teilaufgabe d).
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a(1)-(4), b(1), c(2), c(3): Punktkoordinaten von B angeben, Rechtwinkligkeit des Dreiecks GaEF zeigen, Parameter a für vorgegebenen Flächeninhalt berechnen, Volumen des Prismas ABCDEF…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgaben b(2), b(3), c(1): Parameterdarstellung der dreieckigen Dachfläche GEF mit Parameterbedingungen angeben, Schnitt der Flugbahn des Lufttaxis mit der Dachfläche rechnerisch nachweisen, und…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Bei der Schraubenproduktion weisen 97 % der Schrauben einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Bei fehlerfreiem Körper haben 1,5 % eine fehlerhafte Beschichtung, bei fehlerhaftem Körper 5 %. (1)…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Verteilungen · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben b, c und e der Abituraufgabe B4: - b(1): Wahrscheinlichkeit für genau 15 fehlerhafte Schrauben bei Stichprobe n = 500. - b(2): Mindestanzahl an Schrauben, damit mit mindestens 95 %…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  d) Firma Schraubenwind testet die Beschwerde von Wind 24 (behauptete Fehlerquote 8%) mit einem linksseitigen Hypothesentest bei 200 Schrauben, Signifikanzniveau 5%. (1) Entscheidungsregel bestimmen.…
• Aufgabe B5 - Funktionen · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Untersuchung von Nullstellen und Grenzwert von f_1, Einzeichnen des Koordinatensystems in Abbildung 1, Bestimmung von Steigung und Schnittpunkt für f_0 sowie Deutung von drei Schareigenschaften.
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Bestimmung des Parameters a und der Tangentensteigung für den Punkt P(1|e), Fallunterscheidung der Anzahl der Wendestellen von f_a in Abhängigkeit von a sowie Nachweis der Ortsgeraden y = x der…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe a(3): Geometrische Interpretation des Sachverhalts für jede Stammfunktion F_1 und u > 2022. Teilaufgabe d: Begründung mithilfe von Abbildung 2, dass das Integral von -0,5 bis 1 gleich dem…

LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a (1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass der Graph von f_2 symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
• Aufgabe a (2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Es gibt einen Wert von k, für den x = 1 eine Wendestelle von f_k ist. Berechnen Sie diesen Wert von k.
• Aufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Zeigen Sie rechnerisch die Ableitung f_k'(x) und untersuchen Sie, dass 1/(k^2) eine Extremstelle ist sowie für welche k ein Minimum vorliegt.
• Aufgabe c (1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen f(x) = (x-3)*e^x und h(x) = x-3.
• Aufgabe c (2) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen h und f eingeschlossen wird, mithilfe der gegebenen Stammfunktion D(x).
• Aufgabe d · Graphen von f, f′ und F deuten
  Ermitteln Sie anhand des Graphen von F: (1) den Wert des Integrals von f(x) von 1 bis 7; (2) näherungsweise den Funktionswert f(1).
• Aufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E. (1) Weisen Sie nach, dass die Gerade g senkrecht zur Ebene E verläuft. (2) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes D der Geraden g mit der Ebene E.
• Aufgabe f · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(-5|5|-3) und B(-1|1|-1). Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke AB an und bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von AB, die parallel zur…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktion f(x) = 9*(x-3)*e^(-1,5(x-3)) und der Schar g_k(x) = 4*k^2*(x-3)*e^(-k(x-3)). Bestimmung von Schnittpunkten, Extrempunkten, Tangentengleichung, Nullstellen,…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben a)(2), a)(3), b)(1)(ii) und c)(3): Bestimmung des Flächeninhalts von f mit x=7, uneigentliches Integral von f gegen unendlich und Interpretation, Erläuterung der Integrale für die Fläche…
• Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Begründen Sie, dass f(x) = f(-x) für alle x ∈ ℝ gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Aufgabe B2 aus Teil B (mit Hilfsmitteln): Analysis-Aufgaben zu Extremwerten, knickfreiem Übergang, maximaler Steigung, minimalem Abstand und Funktionenscharen.
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion g zweiten Grades für Element E3, die bei B knickfrei an f anschließt und deren Tiefpunkt 3,6 m rechts von B liegt.
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie die Materialkosten für Element E2 (Teilaufgabe b) und bearbeiten Sie die Aufgaben zur Integralrechnung bei E3 und E4 zur Bestimmung von d bzw. d_neu (Teilaufgabe d).
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Aufgabe B3 (Teilaufgaben a, b(1), c(2), c(3)): Bestimmung von Eckpunkt B, Nachweis der Rechtwinkligkeit über das Skalarprodukt, Parameter a für vorgegebenen Flächeninhalt, Prismenvolumen, prozentuale…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Aufgabe B3 (Teilaufgaben b(2), b(3), c(1)): Parameterdarstellung der dreieckigen Dachfläche GEF mit Parameterbedingungen, Nachweis des Schnittpunkts einer Geraden mit dem Dreieck, und Bestimmung des…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und b… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  a) Bei der Produktion von Schrauben haben 97% fehlerfreie Schraubenkörper. Von diesen haben 1,5% eine fehlerhafte Beschichtung. Von Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben 5% eine…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben b), c) und e): Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung (b1: genau 15 fehlerhaft aus 500; b2: Mindeststichprobe für mindestens 200 fehlerfreie mit P >= 0,95),…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik: Tests und In… · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  d) Wind 24 beschwert sich über eine Fehlerquote von 8%. 200 Schrauben werden getestet auf Signifikanzniveau 5%. (1) Bestimmen Sie eine Entscheidungsregel für den Hypothesentest. (2) Ermitteln Sie die…
• Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgaben a)(1)-(2), b) und e)(1) zu Eigenschaften der Funktionsschar f_a(x) = x * e^(-0,5*a*x^2 + 0,5): Nullstelle und Grenzwert von f_1, Skalierung des Graphen von f_1, lineare Scharfunktion f_0…
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben c), e)(2) und e)(3): Tangentensteigung für fa mit P(1|e), Anzahl der Wendestellen in Abhängigkeit von a und Begründung der linearen Ortskurve y = x für alle Extrempunkte.
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe a)(3): Geometrische Interpretation von F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^2022 f_1(x) dx für u > 2022. Teilaufgabe d): Begründung unter Verwendung von Abbildung 2, dass ∫_{-0,5}^1 f_{-1}(x) dx =…

LK · Nachtermin · CAS (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe A1 - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktion k(t) = 0,75t² - 8t + 60 für die Stickstoffdioxidkonzentration. Zu bestimmen sind: (1) Die Konzentration um 18 Uhr (t = 10). (2) Der Wert und die Interpretation der mittleren…
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  b) Gegeben ist f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 mit Nullstellen x1 = -1 und x2 = 3. (1) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. (2) Gegeben ist ga(x) = a * f(x+2),…
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe c(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  c) Gegeben ist fa(x) = (a·x - a^2)·e^(-(1/a)·x + 3) für a > 0. (1) Geben Sie den Schnittpunkt des Graphen von fa mit der y-Achse an.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe c(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  c) Gegeben ist fa(x) = (a·x - a^2)·e^(-(1/a)·x + 3) für a > 0. (2) Für alle a besitzt fa genau einen Extrempunkt E. Bestimmen Sie die von a abhängigen Koordinaten von E. [Hinweis: Der Nachweis einer…
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe d(1) · Graphen von f, f′ und F deuten
  In den Abbildungen 2a bis 2d sind die Graphen der Funktionen A, B, C und D dargestellt. Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche zwei der Funktionen keine Stammfunktionen von f sind.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe d(2) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f mit f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 an.
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Ebene E: 5x₁ + 2x₂ - x₃ = -4 sowie die Punkte A(2|1|2) und B_u(u|2u|u), u ∈ ℝ. (1) Bestimmen Sie u so, dass g_u parallel zu E verläuft. (2) Geben Sie eine Parameterdarstellung der…
• Aufgabe A1 - Teilaufgabe f · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben ist ein Parallelogramm OABC mit u = (a₁+c₁, a₂+c₂)ᵀ und v = (a₁-c₁, a₂-c₂)ᵀ. (1) Geben Sie an, welcher Vektor zur Diagonale f = CA gehört. (2) Beweisen Sie: Wenn u und v senkrecht zueinander…
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Berechnungen zur Stickstoffdioxidkonzentration und deren Änderungsraten für die Funktion k(t) = 0,75t² - 8t + 60 im Zeitraum von 8 bis 18 Uhr (0 ≤ t ≤ 10).
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen des Flächeninhalts zwischen der Parabel f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 und der x-Achse sowie begründetes Angeben, wie sich der Flächeninhalt für die gestreckte und verschobene Funktionenschar…
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe c(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Schnittpunkt des Graphen der Funktionenschar f_a mit der y-Achse angeben.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe c(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Koordinaten des Extrempunkts E der Funktionenschar f_a bestimmen.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe d(1) · Graphen von f, f′ und F deuten
  (1) Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche der Funktionen A, B, C und D keine Stammfunktionen von f sind.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe d(2) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  (2) Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f an.
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Kenngrößen und Histogramme binomialverteilter Zufallsgrößen: (1) Anzahl Fragen bei Erwartungswert E(X)=6 und p=1/4, (2) Mindestanzahl an Fragen anhand der Histogramme für P(X >= 1) >= 0.8, (3) Anzahl…
• Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Gegeben ist die binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 4 und p = 0,5. (1) Fehlende Werte in der Tabelle für P(X = k) mit k in {1, 2, 3} ermitteln. (2) Begründet entscheiden, welche der Abbildungen…
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Berechnungen zur Stickstoffdioxidkonzentration k(t) = 0,75t^2 - 8t + 60: Bestimmung des Werts um 18 Uhr (t=10), Berechnung und Interpretation der mittleren Änderungsrate (k(10)-k(8))/(10-8) und…
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen des Flächeninhalts zwischen f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 und der x-Achse sowie begründete Angabe des Einflusses der Parametertransformation g_a(x) = a·f(x+2) auf den Flächeninhalt.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe c(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Schnittpunkt des Graphen von f_a mit der y-Achse angeben für f_a(x) = (a·x - a^2)·e^(-(1/a)·x + 3).
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe c(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Koordinaten des Extrempunkts E der Funktionenschar f_a bestimmen (f_a(x) = (a·x - a^2)·e^(-(1/a)·x + 3)).
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe d(1) · Graphen von f, f′ und F deuten
  Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche der Funktionen A, B, C und D keine Stammfunktionen von f sind.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe d(2) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f an für f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1.
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Ebene E: 5*x_1 + 2*x_2 - x_3 = -4 und Punkte A(2|1|2), B_u(u|2u|u). (1) Bestimmen Sie u so, dass die Gerade g_u durch A und B_u parallel zu E verläuft. (2) Geben Sie eine…
• Aufgabe A3 - Teilaufgabe f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Bei einem Test mit Raten (p = 1/4) ist X binomialverteilt mit E(X) = 6. (1) Ermitteln Sie die Fragenanzahl. (2) Ermitteln Sie anhand dreier Histogramme (n=5, 6, 7), wie viele Fragen man mindestens…
• Aufgabe B1 - Teilaufgabe a · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe a: (1) Bestimmen Sie den Wert von k, wenn die Geschwindigkeit nach zwei Sekunden 50 m/s beträgt. (2) Für einen zweiten Dragster gilt k = 0,2. Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster…
• Aufgabe B1 - Teilaufgabe b(1)-(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b(1)-(2): Rechnerische Untersuchung von f(t) = 35·t·e^(-t/6) auf lokale Extremstellen, Bestimmung der maximalen Geschwindigkeit sowie der Anfangsbeschleunigung und Nachweis, dass die…
• Aufgabe B1 - Teilaufgabe b(3) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b(3): Begründung, warum eine Stammfunktion F(t) mit F'(t) = f(t) nicht eindeutig bestimmt ist, und Angabe einer zusätzlichen Anfangsbedingung zur eindeutigen Festlegung.
• Aufgabe B1 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Vergleich der Fahrt eines Kamerafahrzeugs (g(t) = 45 m/s) mit dem Dragster: Zeichnen von g, Schnittpunkt der Graphen, Bedeutung des Differenzintegrals für a=1, Maximum des Integrals und Zeitpunkt a…
• Aufgabe B1 - Teilaufgabe d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  d) (1) Grafische Darstellung der konstanten Geschwindigkeit in Abb. 2 und Bestimmung des Zeitpunkts, nach dem der Dragster die 402 m lange Ziellinie überquert. (2) Grafische Darstellung der…
• Aufgabe B2 - Teilaufgabe a · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion vierten Grades f(x) = ax^4 + bx^2 + c, deren Graph durch den Ursprung verläuft und einen Wendepunkt bei W_2(1 |…
• Aufgabe B2 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Für jedes u mit 0 < u < sqrt(6) bilden P(0|0), Qu(u|0) und Ru(u|f(u)) ein Dreieck. (1) Flächenformel A(u) = -1/16 u^5 + 3/8 u^3 nachweisen. (2) Maximalen Flächeninhalt ermitteln.
• Aufgabe B2 - Teilaufgabe c · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Sekante s(x) = -5/8 durch die Wendepunkte. (1) Sekante in die Abbildung einzeichnen. (2)(i) Integral von -sqrt(5) bis sqrt(5) über (s(x)-f(x))dx berechnen. (2)(ii) Ohne weitere Rechnung begründen,…
• Aufgabe B2 - Teilaufgabe d (Differentialrechnung) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Zeigen Sie, dass t_b die Tangente an den Graphen von f im Punkt P_b(b|f(b)) ist, und ermitteln Sie rechnerisch den maximalen vertikalen Abstand zwischen f und t_1 im Intervall [-3; 1].
• Aufgabe B2 - Teilaufgabe d (Integralrechnung) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Untersuchung der Tangentenschar t_b(x) an f(x) = 1/8 x^4 - 3/4 x^2. Nachweis der Tangenteneigenschaft, Bestimmung der Schnittstellen für b=1 und Zeichnen von t_1, Berechnung des Flächeninhalts A_{t_1…
• Aufgabe B3 - Teilaufgabe a (Metrik) · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Metrische Eigenschaften der Landebahn: Bestimmung der Koordinaten des Punktes C, rechnerischer Nachweis der Bahnlänge |AD| ≈ 527 m, sowie Berechnung des Steigungswinkels zur Horizontalen und der…
• Aufgabe B3 - Teilaufgabe a(3) · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf, die die Punkte A, B und D enthält.
• Aufgabe B3 - Teilaufgabe b · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgabe b: (1) Parameterform einer Markierungsstrecke s angeben, die die Landebahn im Verhältnis 1:3 teilt. (2)(i) Wertebereich für die x₁-Koordinate des Schnittpunktes S im ersten Viertel der…
• Aufgabe B3 - Teilaufgabe c · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  c) (1) Bestimmen Sie rechnerisch einen Punkt der Ebene K im Abstand von 12 m zur Ebene E. (2) Bestimmen Sie rechnerisch den Abstand zwischen der Geraden h und dem Punkt Q(300 | 28 | 31).
• Aufgabe B4 - Teilaufgabe a · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Zu Blutgruppen und Rhesusfaktor: (1) Nachweisen, dass unter den Personen mit Blutgruppe B der Anteil mit Rhesusfaktor negativ etwa 18,2 % beträgt. (2) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei zwei…
• Aufgabe B4 - Teilaufgabe b · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Binomialverteilungsrechnungen für Blutgruppen unter n = 200 Personen: (1) Wahrscheinlichkeit P(X >= 20) für Blutgruppe B (p = 0,11). (2) Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Personen mit…
• Aufgabe B4 - Teilaufgabe c · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Bestimmen Sie die Anzahl der zufällig ausgewählten Personen, die mindestens Blut spenden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 20 Blutspenden der Blutgruppe 0 mit dem…
• Aufgabe B4 - Teilaufgabe d · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Hypothesentest zur Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs: (1) Erläutern Sie, welchen Fehler die Wissenschaftlerin durch die Wahl der Nullhypothese vermeiden möchte. (2) Beurteilen Sie anhand von…
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe a(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Ermitteln Sie rechnerisch, wie lange die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens 38 °C beträgt.
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe a(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Bestimmen Sie rechnerisch die Extrempunkte und die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum [0; 20].
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Bestimmen Sie die durchschnittliche Körpertemperatur im Intervall [0; 20] sowie die Werte von u für zweistündige Zeiträume [u; u+2], in denen die Durchschnittstemperatur mindestens 40 °C beträgt.
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe c · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Geben Sie drei Gleichungen an, mit denen die quadratische Funktion p(t) = a*t^2 + b*t + c für 20 <= t <= 24 bestimmt werden kann (knickfreier Übergang in k bei t=20 und Endwert 37 bei t=24).
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe d(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Ordnen Sie den Graphen I, II und III aus Abbildung 2 den entsprechenden Parameterwerten a = 0,2, a = 0,5 und a = 1,5 der Funktionenschar f_a zu.
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe d(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Extremstellen von fa und Bestimmung des Wertebereichs von a für die Temperaturbegrenzung [34, 42].

LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Berechnungen zur Stickstoffdioxidkonzentration k(t) = 0,75t^2 - 8t + 60 im Zeitraum ab 8 Uhr: (1) Höhe der Konzentration um 18 Uhr bestimmen. (2) Wert des Differenzenquotienten (k(10)-k(8))/(10-8)…
• Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt, und begründen Sie die Änderung des Flächeninhalts für die Schar g_a.
• Teilaufgabe c · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Geben Sie den Schnittpunkt des Graphen von f_a mit der y-Achse an und bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunkts E.
• Teilaufgabe d · Graphen von f, f′ und F deuten
  d) Gegeben ist f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1 mit Graph in Abbildung 1. (1) In Abbildungen 2a-2d sind A, B, C, D dargestellt; genau zwei sind keine Stammfunktionen von f. Begründen Sie anhand der…
• Teilaufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Ebene E: 5*x_1 + 2*x_2 - x_3 = -4 sowie die Punkte A(2|1|2) und B_u(u|2u|u). (1) Bestimmen Sie u so, dass die Gerade g_u durch A und B_u parallel zu E verläuft. (2) Geben Sie eine…
• Teilaufgabe f · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Im Parallelogramm OABC sind u = (a1+c1, a2+c2)^T und v = (a1-c1, a2-c2)^T gegeben. (1) Welcher der Vektoren gehört zur Diagonale f = CA? (2) Beweisen Sie: Wenn u und v senkrecht zueinander sind, ist…
• Aufgabe B1 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe a: (1) Bestimmen Sie den Wert von k für einen Dragster mit v(2) = 50 m/s. (2) Entscheiden und begründen Sie anhand der Funktionsterme, welcher der beiden Dragster (k ≈ 0,1682 oder k =…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b: (1)(i) Funktion f rechnerisch auf Extremstellen untersuchen, (1)(ii) maximale Geschwindigkeit angeben, (2) Beschleunigung beim Start bestimmen und nachweisen, dass sie dort maximal…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben c und d: Analyse der Geschwindigkeitsdifferenz von Dragster und Kamerafahrzeug (Schnittpunkt, Deutung und Extremwert des Integrals, Nullstelle des Abstands). Bestimmung von…
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie die Funktionsgleichung einer achsensymmetrischen ganzrationalen Funktion vierten Grades, die durch den Ursprung verläuft und einen Wendepunkt bei W2(1 | -5/8) besitzt.
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b und Teilaufgabe d (1), d (2)(iii): Maximalen Flächeninhalt eines Dreiecks ermitteln, Tangenteneigenschaft von t_b nachweisen und maximalen vertikalen Abstand zwischen f und t_1…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben c und d (2)(i)-(ii), d (3)-(5): Untersuchung von Schnittstellen und Flächeninhalten zwischen dem Graphen von f und der Sekante s sowie den Tangenten t_b.
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Koordinatengleichung der Landebahnebene E durch A, B, D aufstellen. Parameterform der Markierungsstrecke s angeben (1:3-Teilung). Wertebereich der x_1-Koordinate des Aufsetzpunktes für eine Landung…
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgabe a (1), (2), (4) und Teilaufgabe c: Koordinaten des Eckpunkts C angeben, rechnerischer Nachweis der Landebahnlänge |AD| ca. 527 m, Steigungswinkel zur Horizontalen und Steigung in Prozent…
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a: (1) Nachweisen, dass unter den Personen mit Blutgruppe B der Anteil mit Rhesusfaktor negativ etwa 18,2 % beträgt. (2) Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei zwei zufällig ausgewählten…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgaben b und c: Binomialwahrscheinlichkeiten berechnen (b1: P(X >= 20) für B mit p = 0,11; b2: P(E) für A im 1,5-Sigma-Intervall), Histogramme drei binomialverteilter Zufallsgrößen zuordnen und…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: (1) Erläutern Sie, welchen Fehler die Wissenschaftlerin durch die Wahl der Nullhypothese H_0: p >= 0,1 vermeiden möchte. (2) Unter 1 000 zufällig ausgewählten Erkrankten mit Blutgruppe…
• Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe a (1): Rechnerisch ermitteln, wie lange die Körpertemperatur mindestens 38 °C beträgt. Teilaufgabe d (1): Graphen I, II und III den Parametern a = 1,5, a = 0,5 und a = 0,2 zuordnen.
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a (2) und d (2) aus Aufgabe B5: Bestimmung der Temperaturspanne über Extremstellen und Randwerte von k(t), Begründung gleicher Extremstellen für f_a und Bestimmung des Parameterbereichs…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe b: (1) Durchschnittliche Körpertemperatur im 20-Stunden-Zeitraum [0; 20] berechnen. (2) Zweistündige Zeiträume [u; u+2] mit durchschnittlicher Körpertemperatur mindestens 40 °C ermitteln.
• Aufgabe B5 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe c: Drei Gleichungen zur Bestimmung der quadratischen Modellierungsfunktion p(t) für einen knickfreien Übergang bei t = 20 und den Punkt (24 | 37) angeben.

LK · Nachtermin · GTR (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Teil A - Teilaufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a: Eine Modellierung der Stickstoffdioxidkonzentration k(t) = 0,75t² - 8t + 60 für 0 <= t <= 10 (t in Stunden ab 8 Uhr). Bestimmen von k(10), Berechnen und Interpretieren der mittleren…
• Teil A - Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  b) Gegeben ist f(x) = -1/2 x^2 + x + 3/2 mit Nullstellen x1 = -1 und x2 = 3. (1) Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt. (2) Gegeben ist ga(x) = a * f(x+2),…
• Teil A - Teilaufgabe c(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Geben Sie den Schnittpunkt des Graphen von f_a mit der y-Achse an.
• Teil A - Teilaufgabe c(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Für alle a besitzt f_a genau einen Extrempunkt E. Bestimmen Sie die von a abhängigen Koordinaten von E. [Hinweis: Der Nachweis einer hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich.]
• Teil A - Teilaufgabe d(1) · Graphen von f, f′ und F deuten
  Begründen Sie anhand der Funktionsgraphen, welche der Funktionen A, B, C und D keine Stammfunktionen von f sind.
• Teil A - Teilaufgabe d(2) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von f an für f(x) = 2x³ - x² - 4x + 1.
• Teil A - Teilaufgabe e (Geometrie) · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind Ebene E: 5*x_1 + 2*x_2 - x_3 = -4 und Punkte A(2|1|2), B_u(u|2u|u). (1) Bestimmen Sie u, sodass die Gerade g_u durch A und B_u parallel zu E verläuft. (2) Geben Sie eine…
• Teil A - Teilaufgabe f (Geometrie) · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Parallelogramm OABC mit A(a_1|a_2), C(c_1|c_2) und Vektoren u = (a_1+c_1, a_2+c_2)^T und v = (a_1-c_1, a_2-c_2)^T. (1) Welcher Vektor gehört zur Diagonale f = CA? (2) Beweisen Sie: Wenn u und v…
• Teil A - Teilaufgabe e (Stochastik) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Bei einem Multiple-Choice-Test mit Ratswahrscheinlichkeit p = 1/4 für jede Frage wird die binomialverteilte Anzahl richtiger Antworten betrachtet. (1) Ermitteln der Fragenanzahl n bei Erwartungswert…
• Teil A - Teilaufgabe f (Stochastik) · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  f) Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0,5. (1) Fehlende Werte in der Tabelle für P(X=k) ermitteln. (2) Begründet entscheiden, welche der Abbildungen 3 und 4 die kumulierte…
• Aufgabe B1 - Teilaufgabe a · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Gegeben ist die Geschwindigkeitsfunktion h_k(t) = 35·t·e^(-k·t). In Teil (1) ist der Wert des Parameters k zu bestimmen, wenn die Geschwindigkeit nach zwei Sekunden 50 m/s beträgt. In Teil (2) ist…
• Aufgabe B1 - Teilaufgaben b(1) und b(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Funktion f(t) = 35·t·e^(-t/6) auf lokale Extremstellen, Bestimmung der maximalen Geschwindigkeit sowie Ermittlung der Anfangsbeschleunigung und Nachweis ihres globalen Maximums.
• Aufgabe B1 - Teilaufgaben b(3), c und d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben b(3), c und d: Modellierung der Fahrstrecke mit Stammfunktion F(t), Analyse der Relativbewegung zu einem mit 45 m/s fahrenden Kamerafahrzeug mithilfe von Integralen sowie Modellierung…
• Aufgabe B2 - Teilaufgabe a · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, durch den Ursprung verläuft und in W2(1|-5/8) einen Wendepunkt hat.
• Aufgabe B2 - Teilaufgabe b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Für jedes u mit 0 < u < √6 sind P(0|0), Q_u(u|0) und R_u(u|f(u)) Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. (1) Nachweisen, dass A(u) = -1/16 u⁵ + 3/8 u³. (2) Maximalen Flächeninhalt des Dreiecks…
• Aufgabe B2 - Teilaufgaben c und d · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe c: Sekante s durch Wendepunkte einzeichnen, Integral nachweisen und Integralgleichung begründen. Teilaufgabe d: Tangentenschar tb nachweisen, Schnittstellen in Abhängigkeit von b…
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben ist eine modellierte rechteckige Landebahn mit Eckpunkten A(523|0|0), B(523|20|0), C und D(0|0|65). Zu bestimmen sind Koordinaten von C, die Länge |AD|, eine Koordinatengleichung der Ebene E,…
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Berechnungen an der rechteckigen Landebahn des Flughafens Lukla mit A(523|0|0), B(523|20|0), C und D(0|0|65): Koordinaten von C, Länge von AD, Ebenengleichung von E(A, B, D), Steigungswinkel und…
• Aufgabe B4 - Teilaufgabe a · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a: (1) Weisen Sie nach, dass unter den Personen mit der Blutgruppe B der Anteil der Personen mit Rhesusfaktor negativ etwa 18,2 % beträgt. (2) Es werden zwei Personen der Blutgruppe B…
• Aufgabe B4 - Teilaufgaben b und c · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Binomialverteilungsaufgaben zu Blutgruppen: b)(1) Wahrscheinlichkeit für mindestens 20 Personen mit Blutgruppe B unter 200 Personen berechnen. b)(2) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Anzahl der…
• Aufgabe B4 - Teilaufgabe d · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  d) Hypothesentest mit n = 1000, alpha = 5 % und H0: p >= 0,1. (1) Erläutern, welchen Fehler (Fehler 1. Art) die Wissenschaftlerin durch die Wahl von H0 vermeiden möchte. (2) Beurteilen anhand des…
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe c(1) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben ist die Funktionenschar f_a(t) mit a > 0. In Abbildung 2 sind die Graphen von k sowie von f_a für a = 0,2, a = 0,5 und a = 1,5 dargestellt. Geben Sie an, welcher Graph zu welchem Wert von a…
• Aufgabe B5 - Teilaufgaben a und c(2) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a: Rechnerische Ermittlung, wie lange k(t) >= 38 ist, sowie Bestimmung der Extremwerte und der Temperaturspanne des Dromedars. Teilaufgabe c(2): Begründung für die Extremstellen der Schar…
• Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Mit der Mittelwertformel ist die durchschnittliche Körpertemperatur des Dromedars im Zeitraum [0; 20] sowie das Intervall für u zu bestimmen, für das zweistündige Zeiträume [u; u+2] eine mittlere…

LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung der Modellierungsfunktion k(t) = 0,75t² - 8t + 60 der Stickstoffdioxidkonzentration: (1) Konzentration um 18 Uhr bestimmen, (2) Wert des Differenzenquotienten berechnen und im…
• Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  b) Gegeben ist f(x) = -1/2 x² + x + 3/2 mit Nullstellen x1 = -1 und x2 = 3. (1) Flächeninhalt mit x-Achse berechnen. (2) Schar ga(x) = a·f(x+2), a>1: Begründen, wie sich der Flächeninhalt im…
• Aufgabe c(1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe c(1): Schnittpunkt des Graphen von fa mit der y-Achse angeben für fa(x) = (a·x - a²)·e^(-1/a·x + 3).
• Aufgabe c(2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe c(2): Die Koordinaten des Extrempunkts E der Funktionenschar fa mit fa(x) = (a·x - a²)·e^(-1/a·x + 3) in Abhängigkeit von a bestimmen.
• Aufgabe d(1) - Graphen von f, f′ und F deuten · Graphen von f, f′ und F deuten
  Teilaufgabe d(1): Durch graphischen Vergleich begründen, welche zwei Funktionen aus A, B, C und D keine Stammfunktionen von f sind.
• Aufgabe d(2) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe d(2): Eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion der ganzrationalen Funktion f(x) = 2x³ - x² - 4x + 1 angeben.
• Aufgabe e · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Gegeben sind die Ebene E: 5*x1 + 2*x2 - x3 = -4 und die Punkte A(2|1|2) und Bu(u|2u|u). (1) Bestimme u so, dass gu durch A und Bu parallel zu E verläuft. (2) Gib eine Parameterdarstellung der Ebene F…
• Aufgabe f · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Parallelogramm OABC mit u = (a1+c1, a2+c2)^T und v = (a1-c1, a2-c2)^T. (1) Bestimme, welcher Vektor zur Diagonale f gehört. (2) Beweise: Wenn u und v senkrecht zueinander stehen, ist das…
• Aufgabe B1 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe a: (1) Aus h_k(2) = 50 den Parameter k bestimmen. (2) Für einen zweiten Dragster mit k = 0,2 begründen und entscheiden, welcher der beiden Dragster in den ersten vier Sekunden die höhere…
• Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b(1) und b(2): Untersuchen Sie f rechnerisch auf Extremstellen und geben Sie die maximale Geschwindigkeit an. Bestimmen Sie die Beschleunigung beim Start und weisen Sie rechnerisch nach,…
• Aufgabe B1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Aufgabe B1 (Teilaufgaben b(3), c und d): Begründung zur Nichteindeutigkeit einer Stammfunktion F und zusätzliche Bedingung; Analyse der Bewegung eines parallel fahrenden Kamerafahrzeugs g(t)=45…
• Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist und durch den Ursprung verläuft. Der Punkt W2(1 | -5/8) ist ein Wendepunkt des Graphen.…
• Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe b: (1) Nachweis der Flächeninhaltsfunktion A(u) = -1/16 u⁵ + 3/8 u³ für Dreiecke PQ_uR_u mit 0 < u < √6. (2) Ermittlung des maximalen Flächeninhalts des Dreiecks. Teilaufgabe d(1):…
• Aufgabe B2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Untersuchung von Flächeninhalten zwischen Sekante s(x) = -5/8 bzw. Tangentenschar t_b(x) und Funktionsgraph f(x) = 1/8 x⁴ - 3/4 x² (Teilaufgaben c und d(2)-(6)).
• Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgabe a(3): Koordinatengleichung der Ebene E durch A, B, D aufstellen. Teilaufgabe b(1): Parameterform der Markierungsstrecke s angeben. Teilaufgabe b(2): Wertebereich der x_1-Koordinate des…
• Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a(1)-(2), a(4) und c: Landebahnlänge, Steigungswinkel sowie Abstände paralleler Ebenen und Punkt-Gerade berechnen.
• Aufgabe B4 - Mehrstufige Zufallsexperimente und b… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a: (1) Nachweisen, dass unter den Personen mit der Blutgruppe B der Anteil der Personen mit Rhesusfaktor negativ etwa 18,2 % beträgt. (2) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei zwei…
• Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgabe b: (1) P(X ≥ 20) für B(200; 0,11) berechnen. (2) P(E) berechnen für eine Abweichung von höchstens 1,5 Standardabweichungen um den Erwartungswert bei B(200; 0,43). (3) Begründen, warum…
• Aufgabe B4 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Teilaufgabe d: Fehler 1. Art erläutern und einseitigen Hypothesentest zum Signifikanzniveau 5 % durchführen (n = 1000, k = 85, H0: p >= 0,1).
• Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgaben a(1) und c(1): Zeitdauer berechnen, in der die Körpertemperatur k(t) mindestens 38 °C beträgt, und Zuordnung der Graphen I, II und III zu den Scharparametern a = 1,5; a = 0,5; a = 0,2.
• Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe a(2): Bestimmung der lokalen Extrempunkte von k(t) und der Temperaturspanne. Teilaufgabe c(2): Begründung für die identischen Extremstellen von f_a und k sowie Bestimmung des maximalen…
• Aufgabe B5 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung die durchschnittliche Körpertemperatur eines Dromedars von 0 bis 20 Uhr berechnen sowie die zweistündigen Intervalle [u; u+2] bestimmen, in denen der…

LK · Teil A · Analysis (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)

• Aufgabe 1.1 · Graphen von f, f′ und F deuten
  Gegeben ist der Graph GF einer Stammfunktion F von f. In Teilaufgabe a soll das Integral von f(x) von 1 bis 7 berechnet werden. In Teilaufgabe b soll der Funktionswert f(1) bestimmt und das Vorgehen…
• Aufgabe 1.2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben ist die Funktionenschar f_k(x) = x^4 + (2-k)x^3 - kx^2. Begründen Sie, dass der Graph von f_2 symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
• Aufgabe 1.2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Gegeben ist die Funktionenschar f_k(x) = x^4 + (2-k)x^3 - kx^2. Berechnen Sie den Wert von k, für den 1 eine Wendestelle von f_k ist.
• Aufgabe 1.3 · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben sind f(x) = cos(x) und g_k(x) = k * x^2 mit k in IR+. a) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von g_(1/4). b) Entscheiden Sie, ob es Werte von k gibt, für die f(x) = g_k(x) mehr als…
• Aufgabe 2 · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Ermitteln Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion g, die die Gerade y = 1/4 x + 1 im Punkt (0|1) orthogonal schneidet und bei der x- und y-Koordinate des Extrempunkts übereinstimmen.

LK · Teil A · Analytische Geometrie (2022)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind Gerade g und Ebene E. a) Begründen, dass g senkrecht zu E steht. b) Für die zu E parallele Gerade h diejenige in E liegende Parallele mit minimalem Abstand bestimmen.
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte P(1|2|3) und sein Spiegelpunkt Q(7|2|11) an der Ebene E. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. b) Auf der Gerade durch P und Q liegen die symmetrisch zu E…
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte A(-5|5|-3) und B(-1|1|-1). Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke AB angeben und eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechten von AB bestimmen, die parallel zur x1x3-Ebene…
• Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Quadrat ABCD mit Gerade g durch B und Mittelpunkt M der Seite AD mit Richtungsvektor v. Punkt F ist Lotfußpunkt von A auf g. a) Begründen, dass |BF| = 2 * |AF| gilt. b) Term für den Ortsvektor von B…
• Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Betrachtet wird die Schar der Ebenen E_a : ax + y + 4z = 4 mit a in R. Die Abbildung zeigt die Gerade h in der yz-Ebene. a) Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar die Gerade h enthalten. b) Der…

LK · Teil A · Lineare Algebra (2022)

Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse

• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Modellierung der Entwicklung einer Insektenpopulation mit Übergangsmatrizen: Interpretation eines Eintrags der Matrix M, Berechnung der Anfangsanzahl der Larven und Aufstellen der Übergangsmatrix N…
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Gegeben ist die Matrix M = ((1, 3), (1, -1)). a) Bestimmen Sie den Wert von a für M^2 * u = a * u. b) Bestimmen Sie alle Vektoren v mit M * v = 2 * v.
• Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Eigenschaften stochastischer Matrizen: a) Fixvektor v ungleich 0 zur stochastischen Matrix M bestimmen, für den M·v = v gilt. b) Nachweisen, dass für eine stochastische 2x2-Matrix N und einen Vektor…

LK · Teil A · Stochastik (2022)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgabe a: Begründen, dass P(X=4) = P(X=10) für die Augensumme beim zweifachen Würfelwurf gilt. Teilaufgabe b: Den Zufallsgrößen X (Augensumme Würfel) und Y (Anzahl gezogener schwarzer Kugeln bei…
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Wahrscheinlichkeiten für die Bewegung einer Spielfigur auf einem Rasterfeld anhand von Würfelwürfen berechnen und interpretieren.
• Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße analysieren: a) Wahrscheinlichkeit P(A > 10) berechnen, wenn P(6 <= A <= 10) etwa 68 % beträgt. b) Möglichen Graphen der Dichtefunktion einer…
• Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Für ein Spiel mit 100 Kugeln (rot und blau) bestimmt der Spieler die Anzahl blauer Kugeln. Bei Ziehen einer roten Kugel erhält er die gewählte Anzahl blauer Kugeln in Cent, bei einer blauen Kugel 10…
• Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Die Seiten eines Würfels sind jeweils mit 1, 2 und 3 beschriftet (jede Zahl zweimal). a) Begründen, dass P(dreimal die gleiche Zahl) halb so groß ist wie P(drei verschiedene Zahlen). b) Term für…

LK · Teil B · Analysis (CAS) (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände

• Aufgabe MMS 1 · 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe 1 a: Geschwindigkeit nach einer halben Minute berechnen und Geschwindigkeitsabnahmen vergleichen.
• Aufgabe MMS 1 · 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben 1 b, 1 d, 1 e, 1 f und 1 g: Zeitpunkt stärkster Geschwindigkeitsabnahme, Überprüfung der Aussage über Tangente und Anhalteweg sowie Bedingungen, Parameterwert und Extremstellen der Schar…
• Aufgabe MMS 1 · 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe 1 c: Zeitraum bestimmen, in dem der ICE eine Strecke von genau 7 km zurücklegt.
• Aufgabe MMS 1 · 2 - Funktionsterme bestimmen (Steckbriefa… · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Gegeben ist die Funktion s(x) = a·sin(b·x) + c mit aufeinanderfolgenden Extrempunkten E1(-2|-1) und E2(2|3). Bestimmen Sie die passenden Werte von a, b und c.
• Aufgabe MMS 1 · 2 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Berechnen Sie das Integral von -2 bis 2 über s(x) dx und beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 2, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.
• Aufgabe MMS 1 · 2 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe 2c: Zeigen Sie, dass jeder Wendepunkt von s(x) eine ganzzahlige x-Koordinate hat und die Steigung ±π/2 besitzt. Teilaufgabe 2d: Untersuchen Sie, ob eine der Geraden durch einen Wendepunkt…
• Aufgabe MMS 2 · 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Untersuchung von f_1 und f_a: Hochpunkt von f_1, Nullstelle und Grenzwert für x -> +unendlich; Koordinatensystem in Abb. 1 einzeichnen; Parameter a für P(1|e) und Schnittwinkel mit Parallele zur…
• Aufgabe MMS 2 · 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe 1 d: Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse der Geraden f_0 angeben.
• Aufgabe MMS 2 · 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgaben 1 c und 1 f: Geometrische Interpretation von F_1(u) - F_1(0) ≈ ∫_0^2022 f_1(x) dx für u > 2022 und Begründung der Gleichheit ∫_{-0,5}^1 f_1(x) dx = ∫_{0,5}^1 f_1(x) dx anhand von Abb. 2.
• Aufgabe MMS 2 · 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgaben 2 a, 2 b und 2 d: Gemeinsame Eigenschaften der Schar, Streckung in x- und y-Richtung sowie Untersuchung der Lage bezüglich Quadranten und Eindeutigkeit des Scharparameters für Punkte im…
• Aufgabe MMS 2 · 2 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben 2 c, 2 e und 2 f: Bestimmung der Anzahl der Wendestellen von f_a in Abhängigkeit vom Parameter a samt Begründung; Begründung, dass alle Extrempunkte auf der Geraden y = x liegen;…

LK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände

• Aufgabe 1 (WTR 1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe 1a: Geschwindigkeit nach einer halben Minute bestimmen und die Geschwindigkeitsabnahme in der ersten halben Minute mit der der folgenden vergleichen.
• Aufgabe 1 (WTR 1) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben 1b, 1d, 1f und 1g: Bestimmung des Zeitpunkts stärkster Geschwindigkeitsabnahme, rechnerische Überprüfung einer Aussage zum Bremsweg (Tangente im Wendepunkt), Parameterbestimmung und…
• Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe 1c: Länge der vom ICE in den ersten zwei Minuten zurückgelegten Strecke mittels bestimmtem Integral berechnen.
• Aufgabe 1 (WTR 1) - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Teilaufgabe 1e: Bedingungen an f_p angeben, die einen sprungfreien Übergang von Geschwindigkeit und Beschleunigung bei x = 0 garantieren.
• Aufgabe 2 (WTR 1) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Gegeben ist die Funktion s(x) = a * sin(b * x) + 1 mit aufeinanderfolgenden Extrempunkten E_1(-2|-1) und E_2(2|3). Bestimmen Sie die Werte von a und b.
• Aufgabe 2 (WTR 1) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Es gilt das Integral von s(x) von -2 bis 2 ist 4. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 3, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.
• Aufgabe 2 (WTR 1) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Zeigen Sie für s(x) = 2*sin(pi/4*x)+1, dass alle Wendepunkte ganzzahlige x-Koordinaten und Steigungen +-pi/2 haben (Teil c). Untersuchen Sie, ob eine Gerade durch einen Wendepunkt und P(2022|2022)…
• Aufgabe 1 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe 1a: Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von f, dass der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs ist. Begründen Sie, dass f genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den…
• Aufgabe 1 (WTR 2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe 1b: Bestimmen Sie die erste Ableitung f'(x). Teilaufgabe 1c: Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von f und zeichnen Sie die Koordinatenachsen mit passender Skalierung in…
• Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe 1d: Integral über f(x) von 0 bis 1 mithilfe der Integrationsregel für g'(x)·e^(g(x)) berechnen. Teilaufgabe 1e: Geometrische Interpretation von F(w) - F(0) ≈ ∫_0^{2022} f(x) dx für w >…
• Aufgabe 2 (WTR 2) - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
  Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar f_a den Punkt (1|1) enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von a an.
• Aufgabe 2 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Untersuchen Sie Eigenschaften der Schar f_a: b) Steigung und y-Achsenabschnitt von f_0 angeben, c) geometrische Folgerungen aus gegebenen Eigenschaften ziehen, d) Streckung in x- und y-Richtung…
• Aufgabe 2 (WTR 2) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgaben 2e, 2f und 2g: Bestimmung der Werte von a für Gruppen I und II anhand a · x² = 1; Begründung, dass alle Extrempunkte auf y = x liegen; Berechnung von a, sodass das Viereck aus Hochpunkt,…
• Aufgabe 1 (WTR 3) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Für einen Produktionsprozess beschreibt M(h) = 100 * e^(-0,04*h) eine Messgröße in Abhängigkeit der Füllhöhe h. Teilaufgabe a: Wert von M bei leerem Behälter und größte zugelassene Füllhöhe für M=2…
• Aufgabe 2 (WTR 3) - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
  Teilaufgabe 2a und 2b: Stammfunktion von i(x) = pi*(50^2 - (50 - x)^2) bestimmen sowie die geometrische und physikalische Bedeutung der Terme im Sachkontext anhand von Abbildung 2 begründen.
• Aufgabe 2 (WTR 3) - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
  Teilaufgabe 2c: Begründen, dass der Wendepunkt des Graphen von V(h) die x-Koordinate 50 hat, und das zugehörige Füllvolumen V(50) berechnen.
• Aufgabe 3 (WTR 3) · Funktionen und ihre Eigenschaften
  Teilaufgabe 3: Analyse der periodischen Funktion V(t) = 150*sin(pi/12 * t) + 300. Begründung des minimalen Füllvolumens, Berechnung der Zeitpunkte für V(t) = 375 l in den ersten 30 Minuten und…

LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2022)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

• Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a, b und g: Nachweis, dass das Viereck ABFE ein Trapez ist und Prüfung auf einen rechten Winkel in E; Begründung, dass die Höhe der flächenhalbierenden horizontalen Linie der halbe…
• Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgaben c, d, e und f: Koordinatengleichung der Deckseitenebene, Schattenpunkt K' des vertikalen Schilds und Parameter a der Ebenenschar bei verschiedenen Karten- und Schattenpositionen.
• Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Untersuchung des Saarpolygons: Symmetrienachweis bezüglich der x3-Achse, Gesamtlänge des Streckenzugs, Schnittwinkel mit der x1x2-Ebene und zwischen E und F, Volumenverhältnis der Teilkörper durch E,…
• Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Bestimmung einer Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte A(11|11|0), B(-11|11|28) und C(11|-11|28) des Saarpolygons.

LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum

• Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a, b und d: Gleichschenkligkeit und Flächeninhalt des Dreiecks BCD_k sowie Schnittwinkel der x_3-Achse mit der Ebene L_k.
• Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgaben c, e, f und g: Ebenengleichung von L_k, Schnittfiguren mit dem Quader und Koordinaten des Punkts Q_h.
• Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
  Teilaufgabe c: Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform.
• Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Teilaufgaben a, b, d, e, f und g zum Saarpolygon: Symmetrie bezüglich der x3-Achse, Gesamtlänge des Streckenzugs, Schnittwinkel mit der x1x2-Ebene und zwischen E und F, Volumenanteil der Pyramide…

LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2022)

Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse

• Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Gegeben sind die Punkte P, Q, R im dreidimensionalen Raum. Zu zeigen: P, Q, R liegen nicht auf einer Geraden; Innenwinkel bei P berechnen; Punktmengen zu gegebenen Parameterbedingungen in…
• Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Modellierung eines Fahrrad-Leihsystems mit 2400 Fahrrädern in drei Bereichen A, B, C mittels Übergangsmatrix M und Eigenvektorentwicklung: a) Interpretation von 0,8 und Spaltensumme 1 b) Berechnung…

LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Matrizen und Übergangsprozesse

• Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
  Das Drachenviereck ABCD im Raum mit A(0|0|0), B(-3|4|35), C(0|0|40) und D(3|-4|35) untersuchen: a) Zeigen, dass BC und CD einen rechten Winkel einschließen. b) Koordinaten von E auf der längeren…
• Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
  Modellierung eines Farbwechselprozesses einer Lampen-Werbefläche mittels Übergangsmatrizen, Diagramm, Matrixpotenzen und Grenzwertbetrachtungen.

LK · Teil B · Stochastik (CAS) (2022)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe 1 a–c · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Aufgabe 1 (a–c): Erstellung eines beschrifteten Baumdiagramms zum Sachverhalt (Datenschutzbedenken D und Nutzung eines Fitnessarmbands F), Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P_F(D) und…
• Aufgabe 1 d–f · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe 1 (d–f): 100 zufällig ausgewählte Kunden. d) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mehr als 50 % Datenschutzbedenken haben. e) Platzhalter a und b im Binomialterm identifizieren und das…
• Aufgabe 2 · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Aufgabe 2: Gegeben ist die Grafik zur Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art in Abhängigkeit von p bei H0: p ≥ 0,07 und Ablehnung bei X ≤ 4. In a) ist der Stichprobenumfang n zu ermitteln. In b) ist…
• Aufgabe 1 a–c · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Aufgabe 1 (a–c): Erstellen einer Mehrfeldertafel zu Tarifen (S, M, L) und Hotline-Nutzung; Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde mit Tarif S die Hotline nicht angerufen hat;…
• Aufgabe 1 d–e · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe 1 (d–e): Deutung des Terms Summe_{i=470}^{490} B(600; 0,8; i) im Sachzusammenhang und Bestimmung der größten natürlichen Zahl k mit P(X < k) < 0,25 für n=600 und p=0,2.
• Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Aufgabe 2: Bestimmung der Anzahl sechsstelliger Zahlenkombinationen aus den Ziffern 1, 5 und 9, wobei eine Ziffer viermal und die beiden anderen je einmal vorkommen.
• Aufgabe 3 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe 3: Normalverteilung mit Standardabweichung 1,25 Minuten. a) Untersuchung, ob ein 2-Minuten-Intervall mit Wahrscheinlichkeit mindestens 60 % existiert. b) Berechnung von P(Y >= 5), wenn P(Y <=…
• Aufgabe 1 a–b · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Aufgabe 1 (a–b): Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten für binomialverteilte Stichproben (n = 200, p = 0,02) zur Anzahl unrunder Tischtennisbälle.
• Aufgabe 1 c–e · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Aufgabe 1 (c–e): Ein Baumdiagramm für die Herstellung (rund 98 %, unrund 2 %) und Sortierung (Aussortieren: 90 % der unrunden, 5 % der runden Bälle) erstellen. Den Term 0,98 · 0,05 · 2000 im…
• Aufgabe 2 · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Aufgabe 2: Bestimmung und Eigenschaften von Konfidenzintervallen für den Anteil unrunder Bälle anhand von Funktionsgraphen und Berechnung der Intervallgrenze p2.

LK · Teil B · Stochastik (WTR) (2022)

Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle

• Aufgabe 1 (a–c) - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben 59 % Datenschutzbedenken. Von diesen nutzen 23 % ein Fitnessarmband. 19 % aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein…
• Aufgabe 1 (d–f) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  100 Kunden werden ausgewählt. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 50 % Datenschutzbedenken haben. e) Geben Sie an, wodurch a und b im vorgegebenen Term für das Gegenereignis zu…
• Aufgabe 2 - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
  Aufgabe 2: Bei einem Signifikanztest zur Fehlerquote von Fitnessarmbändern (H0: p >= 0,07) wird H0 abgelehnt, wenn höchstens 4 Armbänder fehlerhaft sind. a) Ermitteln Sie den Stichprobenumfang anhand…
• Aufgabe 1 (a–c) - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Teilaufgabe a: Erstellen einer Mehrfeldertafel für die Tarife S, M, L und die Nutzung der Hotline (in Prozent). Teilaufgabe b: Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde, der die…
• Aufgabe 1 (d–e) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlic… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Teilaufgabe d: Bedeutung des binomialverteilten Summenterms für n=600, p=0,8 von 470 bis 490 im Sachzusammenhang beschreiben. Teilaufgabe e: Größte natürliche Zahl k bestimmen, für die P(X < k) <…
• Aufgabe 2 - Kombinatorik · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
  Das Telefon einer Kundin ist durch eine sechsstellige Zahlenkombination geschützt. Diese Kombination enthält die Ziffern 1, 5 und 9, aber keine andere Ziffer; eine Ziffer tritt viermal auf. Bestimmen…
• Aufgabe 3 - Normalverteilung · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  Die Wartezeit beim Anrufen der Service-Hotline ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 1 Minute und 15 Sekunden. a) Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall mit einer Länge von zwei…

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Übe ein Thema mit gemischten Aufgaben aus den Prüfungen und dem IQB-Pool aller Jahre.

• Längen, Winkel und Abstände im Raum · 272 Aufgaben · 45 % Wahrscheinlichkeit
• Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · 462 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
• Integralrechnung: Flächen und Bestände · 419 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
• Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · 306 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
• Funktionen und ihre Eigenschaften · 329 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
• Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · 217 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit

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