Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion ff vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der yy-Achse. Außerdem stellt der Punkt W2(1  |  −58)W_2\left(1 \;\middle|\; -\frac{5}{8}\right) einen Wendepunkt des Graphen von ff dar.

Funktionsgleichung zur Kontrolle: f(x)=18x4−34x2,x∈Rf(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}

e) Für jede reelle Zahl a>0a > 0 schließen der Graph der Funktion pap_a mit der Gleichung pa(x)=a⋅x2p_a(x) = a \cdot x^2 und der Graph der Funktion ff im Bereich x≥0x \geq 0 eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch die xx-Achse unterteilt.

(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen von p0,3p_{0{,}3} (also für a=0,3a = 0{,}3).

(2)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von aa die drei Stellen x1x_1, x2x_2 und x3x_3, an denen die Graphen von pap_a und ff gemeinsame Punkte besitzen.

[Zur Kontrolle: x1=−6+8⋅a, x2=0, x3=6+8⋅ax_1 = -\sqrt{6 + 8\cdot a},\ x_2 = 0,\ x_3 = \sqrt{6 + 8\cdot a}]

Aufgabenstellung: Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen von p0,3p_{0{,}3} (also für a=0,3a = 0{,}3).

Lösung: Graph der nach oben geöffneten Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung (0∣0)(0|0) und z. B. den Punkten (±1∣0,3)(\pm 1 | 0{,}3), (±2∣1,2)(\pm 2 | 1{,}2) und (±3∣2,7)(\pm 3 | 2{,}7).

Ermittlung der Stellen x1x_1, x2x_2 und x3x_3 (Rechenweg):

Lösung: f(x)=pa(x)⇔18x4−34x2=a⋅x2f(x) = p_a(x) \Leftrightarrow \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2 = a \cdot x^2 ⇔18x4−34x2−a⋅x2=0\Leftrightarrow \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2 - a \cdot x^2 = 0 ⇔x2⋅(18x2−34−a)=0\Leftrightarrow x^2 \cdot \left(\frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{4} - a\right) = 0 ⇔x2=0∨18x2−34−a=0\Leftrightarrow x^2 = 0 \vee \frac{1}{8}x^2 - \frac{3}{4} - a = 0 ⇔x=0∨x2=6+8⋅a\Leftrightarrow x = 0 \vee x^2 = 6 + 8\cdot a ⇔x=0∨x=−6+8⋅a∨x=6+8⋅a\Leftrightarrow x = 0 \vee x = -\sqrt{6 + 8\cdot a} \vee x = \sqrt{6 + 8\cdot a}

(2) Stelle x1x_1:

Lösung: −6+8⋅a-\sqrt{6 + 8\cdot a}

(2) Stelle x2x_2:

Lösung: 0

(2) Stelle x3x_3:

Lösung: 6+8⋅a\sqrt{6 + 8\cdot a}

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