Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

1 Aufgabe

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population von Insekten in einem abgeschlossenen Terrarium. Die Zusammensetzungen der Population werden zunächst durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} A \\ E \\ L \end{pmatrix}$ dargestellt. Dabei ist $A$ die Anzahl der ausgewachsenen Insekten, $E$ die Anzahl der Eier und $L$ die Anzahl der Larven. Die Veränderung dieser Anzahlen von einer Woche $n$ zur nächsten wird durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit

$$M = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 & 0{,}3 \\ 30 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0 \end{pmatrix}$$

beschrieben.

a)

Geben Sie die Bedeutung des Eintrags $0{,}2$ der Matrix $M$ im Sachzusammenhang an. [1 BE]

b)

Im Terrarium sind zu Beginn $30$ ausgewachsene Insekten, $10$ Eier und eine unbekannte Anzahl von Larven. Eine Woche später hat sich die Anzahl der ausgewachsenen Insekten nicht geändert. Berechnen Sie die Anzahl der Larven, die zu Beginn im Terrarium waren. [2 BE]

c)

Die Zusammensetzungen der Population sollen nun durch Vektoren der Form $\vec{w}_n = \begin{pmatrix} E \\ L \\ A \end{pmatrix}$ und die Veränderung der Anzahlen der Eier, Larven und ausgewachsenen Insekten von einer Woche zur nächsten durch die Gleichung $\vec{w}_{n+1} = N \cdot \vec{w}_n$ dargestellt werden. Geben Sie die Matrix $N$ an. [2 BE]