Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

a) (1) Zeigen Sie: f'(x) = 4000 · (1 - 0,4 · x) · e^(-0,4x).

Lösung: Durch die Anwendung der Produkt- und der Kettenregel ergibt sich: $$f'(x) = 4000 \cdot (1 \cdot e^{-0{,}4x} + x \cdot (-0{,}4) \cdot e^{-0{,}4x}) = 4000 \cdot (1 - 0{,}4 \cdot x) \cdot e^{-0{,}4x}$$

a) (2) Zeitpunkt x maximaler Änderungsrate

Lösung: $2{,}5$

a) (2) Größter Wert der momentanen Änderungsrate

Lösung: $3678{,}8$ / $3680$

a) (2) Rechnerische Begründung der Maximalstelle

Lösung: Da zusätzlich $f'(2) \approx 359{,}5 > 0$ und $f'(3) \approx -241{,}0 < 0$ gilt, liegt an der Stelle $x = 2{,}5$ ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von $f'$ vor. $x = 2{,}5$ ist daher eine lokale Maximalstelle von $f$ und als einzige lokale Extremstelle auch die globale Maximalstelle von $f$.

a) (3) Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich 0 ≤ x ≤ 18.

Lösung: Der Graph startet im Ursprung $(0|0)$, steigt bis zum Hochpunkt bei ca. $(2{,}5 | 3679)$ an, fällt dann über den Wendepunkt $(5 | 2707)$ hinweg ab und nähert sich für $x \to 18$ der $x$-Achse ($f(18) \approx 53{,}7$).

a) (4) Erläutern Sie diese Berechnungen.

Lösung: Die gesuchten Zeitpunkte sind durch die globalen Extremstellen der Ableitungsfunktion $f'$ im Intervall $[0; 18]$ gegeben, bei denen es sich um lokale Extremstellen oder Randstellen handeln kann. Mit der Berechnung werden zunächst die lokalen Extremstellen von $f'$ ermittelt: $x = 5$ ist die einzige Nullstelle der Funktion $f''$ und damit die einzige mögliche lokale Extremstelle von $f'$. Da zusätzlich $f'''(5) > 0$ gilt, ist $x = 5$ eine lokale Minimalstelle von $f'$. $x = 5$ ist als einzige lokale Extremstelle von $f'$ auch die globale Minimalstelle von $f'$.

a) (4) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten sinkt

Lösung: $5$

a) (4) Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ansteigt

Lösung: $0$

a) (4) Begründung für die beiden Zeitpunkte ohne weitere Rechnung

Lösung: Die stärkste Abnahme liegt an der lokalen Minimalstelle von $f'$, also bei $x = 5$. Da es im Inneren des Intervalls keine lokale Maximalstelle von $f'$ gibt ($x = 5$ ist die einzige Extremstelle von $f'$), muss das globale Maximum von $f'$ auf dem Rand liegen. Wegen $f'(0) > 0$ und $f'(18) < 0$ nimmt die Änderungsrate zum Zeitpunkt der Produkteinführung ($x = 0$) am stärksten zu.