Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

c)(1) Zeichnen Sie diese Sekante in Abbildung 1 ein.

Lösung: Sekante $s(x) = -\frac{5}{8}$ als waagerechte Gerade auf der Höhe $y = -0{,}625$ eingezeichnet.

c)(2) Weisen Sie rechnerisch nach: $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx = 0$.

Lösung: $$\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx = \left[-\frac{5}{8}x - \frac{1}{40}x^5 + \frac{1}{4}x^3\right]_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} = 0$$

c)(3) Ermitteln Sie $\int_{1}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,dx$.

Lösung: 0,4

c)(4) Wert des Integrals $\int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x)-f(x))\,dx$:

Lösung: 0,4

c)(4) Wert des Integrals $\int_{-1}^{1} (f(x)-s(x))\,dx$:

Lösung: 0,8

c)(4) Begründung der Angaben zu den Integralen:

Lösung: Symmetrie zur $y$-Achse liefert $A_1 = A_3 = 0{,}4$. Da das Gesamtintegral über $[-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$ gleich 0 ist, heben sich die orientierten Flächen auf, d. h. $A_2 = A_1 + A_3 = 0{,}8$.

d)(2) Flächenberechnung zur Prüfung der Aussage:

Lösung: $f(x) = t(x) \Leftrightarrow x_1 \approx -2{,}72$, $x_2 \approx -0{,}28$, $x_3 = 1{,}5$. Teilfläche 1: $\int_{x_1}^{x_2} (t(x)-f(x))\,dx \approx 2{,}85$ Teilfläche 2: $\int_{x_2}^{x_3} (f(x)-t(x))\,dx \approx 0{,}33$ Quotient: $2{,}85 : 0{,}33 \approx 8{,}64 > 8$

d)(2) Prüfen Sie, ob diese Aussage zutrifft.

Lösung: Ja, die Behauptung trifft zu

e)(3) Ermitteln Sie einen Ansatz, mit dem sich der Wert von $a$ bestimmen lässt, für den die $x$-Achse die eingeschlossene Fläche in zwei gleich große Teile teilt.

Lösung: $$\int_{0}^{\sqrt{6+8a}} (p_a(x)-f(x))\,dx = 2\cdot \left(-\int_{0}^{\sqrt{6}} f(x)\,dx\right)$$