Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Der durchschnittliche Wert einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ wird durch $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnet.

b) (1)

Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

b) (2)

Nun sollen Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ untersucht werden, die zum Zeitpunkt $u$ beginnen.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $u$, für die die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\ ^\circ\mathrm{C}$ beträgt.