Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Eine Firma vertreibt Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes lässt sich im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband führte die Firma auch eine Smartwatch am Markt ein. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ modelliert.

Zum selben Zeitpunkt, zu dem das Fitnessarmband eingeführt wurde, startete das Unternehmen auch den Verkauf einer Smartwatch. Im Modell wird die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$

beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie fünf Monate nach der Produkteinführung die momentanen Änderungsraten des Absatzes von Fitnessarmband und Smartwatch.

(2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Produkteinführung insgesamt verkauft wurden.

(3)

Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, an dem seit der Produkteinführung ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden.

Geben Sie diesen Zeitpunkt gegebenenfalls an.