Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Teilaufgabe b)

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1)

$A \approx$

[FE]

Teilaufgabe c)

Zu einem $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ herangezogen. Für $x \geq z$ wird der Graph von $t$ herangezogen. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ umschließen gemeinsam mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so festlegen, dass diese Fläche den Inhalt von 4 Flächeneinheiten besitzt:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (ii)