Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist der Bau eines neuen Teilabschnitts geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden gefertigt. E1 und E4, die äußeren Elemente, haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ ineinander übergehen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2\,\quad x \in \mathbb{R}\.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er kostet $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen.

Legen Sie im Folgenden für die Modellierung von E3 diese Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x-8{,}4)^2 + \frac{132}{125}.$$

Teilaufgabe d)

d) (1) (i)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen. Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 bestimmen lässt, bei der die Materialkosten genau $10\,800\text{ €}$ betragen.

Die Gleichung liefert die Länge $d \approx 8{,}24\text{ m}$.

d) (1) (ii)

Bestimmen Sie die Höhe, die E4 dadurch erhält.

d) (1) (iii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat.

[Kontrollergebnis: Die Materialkosten für E4 liegen bei etwa $3\,500\text{ €}$.]

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten der beiden Elemente E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

d) (2) (i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten.

d) (2) (ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 geändert, während E4 weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang bleibt. Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 ermitteln lässt, bei der E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ Materialkosten verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung brauchen Sie nicht zu lösen.]