Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2022

Der in der Abbildung 1 gezeigte Körper $ABCDEFGH$ stellt einen massiven Betonkörper dar, das Viereck $EFGH$ dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.

An der durch die Strecke $\overline{\text{EH}}$ dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte liegt zunächst auf der Deckseite des Betonkörpers auf, wobei sie mit den Kanten der Deckseite bündig abschließt. Anschließend kann die Karte umgeklappt werden. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(0|20|0)$, $E(0|40|120)$ und $F(0|58|114)$.

Es gilt $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{EH} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Im verwendeten Koordinatensystem stellt die $xy$-Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ cm}$ in der Realität.

Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe d betrachtet wurde, können alle möglichen Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen $E_a: a \cdot y + z = 40a + 120$ mit $a \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

a

Zeigen Sie, dass das Viereck ABFE ein Trapez ist, und prüfen Sie, ob das Viereck im Punkt E einen rechten Winkel hat. [3 BE]

b

Auf der Seitenfläche, die durch das Viereck ABFE beschrieben wird, verläuft eine horizontale Linie, die die Seitenfläche in zwei Teile gleichen Inhalts teilt. Begründen Sie, dass die Höhe dieser Linie über dem Boden in Zentimetern die Hälfte des Mittelwerts der z-Koordinaten von E und F ist. [4 BE]

g

Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers, wird einer ihrer Eckpunkte durch F dargestellt. Dieser Eckpunkt nimmt während des Umklappens verschiedene Positionen ein. Zwei dieser Positionen werden durch $P(0 \mid y_1 \mid z)$ und $Q(0 \mid y_2 \mid z)$ mit $y_2 < y_1$ beschrieben, wobei $\left|\begin{pmatrix}0\\ y_1 - 58\\ z - 114\end{pmatrix}\right| = y_1 - y_2$ gilt. Begründen Sie, ohne zu rechnen, dass die Strecken $\overline{EF}$ und $\overline{EQ}$ einen doppelt so großen Winkel einschließen wie die Strecken $\overline{EF}$ und $\overline{EP}$, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch eine geeignet beschriftete Skizze. [5 BE]

Ihre Ausführungen und die Skizze können nun mit dem offiziellen Erwartungshorizont verglichen werden.