Aufgabe A3 b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Die Funktion $g$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt:$$g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R} \,.$$

b) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Abbildung sind die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ dargestellt.

(1)

Geben Sie die beiden Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

Zeigen Sie: $D(x)=(4-x)\cdot \mathrm{e}^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot \mathrm{e}^x$.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $f$ und $g$ liegt und von ihnen begrenzt wird.