Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Gegeben sei der Punkt $R(z \mid f(z))$ für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ ist der Graph der Funktion $t$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ herangezogen, für $x \ge z$ der Graph von $t$. Abbildung 2 stellt diese Situation für das Beispiel $z = 3{,}9$ dar.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so ermitteln, dass diese Fläche 4 Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

Der Graph der Funktion $g_k$ hat den Hochpunkt $H_k$ mit $H_k\left(3 + \frac{1}{k} \;\middle|\; 4 \cdot k \cdot \mathrm{e}^{-1}\right)$.

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ zusammen mit dem Graphen von $g_{1{,}5}$ in Abbildung 3 dargestellt.

Teilaufgabe a)

(1)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen gemeinsamen Punkt $N$ mit der $x$-Achse sowie genau einen Hochpunkt $H$.

Geben Sie die Koordinaten von $N$ an. Ermitteln Sie die Koordinaten von $H$.

(4)

Für jedes $3 < u \le 9$ sind $N(3|0)$, $P(9|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i)

Begründen Sie, dass man den Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ abhängig von $u$ mit der Gleichung $A_{NPQ_u}(u) = 3\cdot f(u)$ berechnen kann.

(ii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ am größten ist.

(iii)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt.

Teilaufgabe b)

(1)

(i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I ($t(z) = f(z)$) und II ($t'(z) = f'(z)$) gewählt werden.

(2)

Aus den Bedingungen ergibt sich $z \approx 3{,}9428$. Es gilt: $f'(x) = -\frac{1}{2}\cdot (27\cdot x - 99)\cdot e^{-1{,}5(x-3)}$.

(i)

Bestimmen Sie für $z = 3{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z|f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert.

(ii)

Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$.

Teilaufgabe c)

(1)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Funktionenschar $g_k$ die $x$-Achse nur in einem Punkt schneidet.

(2)

Ohne Nachweis darf man verwenden: $g_k''\left(3 + \frac{1}{k}\right) = -4\cdot k^3\cdot e^{-1}$.

Bestimmen Sie rechnerisch, abhängig von $k$, die Extremstelle sowie die Art des Extremums des Graphen von $g_k$.

(4)

Die Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ haben außer $N(3|0)$ genau einen weiteren Schnittpunkt $S$.

(i)

Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$.

(ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3.

(5)

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründen Sie ohne weitere Berechnung anhand des Hochpunktes $H_a$, ob $a$ größer oder kleiner als $1{,}5$ ist.