Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Aufgabenstellung

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar faf_a, die auf R\mathbb{R} definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

fa(x)=x⋅e−12⋅a⋅x2+12mit a∈R.f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}. Die Ableitung von faf_a lautet: fa′(x)=(1−a⋅x2)⋅e−12⋅a⋅x2+12f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}.

Alle Graphen von faf_a verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zuerst werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von f1f_1 besitzt den Hochpunkt H1(1∣1)H_1(1|1).

a) (3)

Interpretieren Sie die nachstehende Aussage in geometrischer Hinsicht:

Es gilt für jede Stammfunktion F1F_1 von f1f_1 sowie für jede reelle Zahl u>2022u > 2022:

F1(u)−F1(0)≈∫02022f1(x) dxF_1(u) - F_1(0) \approx \int_0^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x

d)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass ∫−0,51f−1(x) dx=∫0,51f−1(x) dx\displaystyle\int_{-0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x gilt.

Aufgabenstellung: Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(3) Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch: Für jede Stammfunktion F1F_1 von f1f_1 und für jede reelle Zahl u>2022u > 2022 gilt: F1(u)−F1(0)≈∫02022f1(x) dxF_1(u) - F_1(0) \approx \int_0^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x.

Lösung: Der Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen von f1f_1, der xx-Achse und der Geraden mit der Gleichung x=ux = u eingeschlossen wird, ist für alle u>2022u > 2022 ungefähr genauso groß wie für u=2022u = 2022.

d) Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass ∫−0,51f−1(x) dx=∫0,51f−1(x) dx\int_{-0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x gilt.

Lösung: Da der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft, ist das Flächenstück zwischen dem Graphen von f−1f_{-1} und der xx-Achse für das Intervall [−0,5;0][-0{,}5; 0] genauso groß wie das Flächenstück für das Intervall [0;0,5][0; 0{,}5]. Da das erste Flächenstück unterhalb und das zweite Flächenstück oberhalb der xx-Achse liegt, muss ∫−0,50,5f−1(x) dx=0\int_{-0{,}5}^{0{,}5} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = 0 gelten. Daraus folgt unmittelbar ∫−0,51f−1(x) dx=∫−0,50,5f−1(x) dx+∫0,51f−1(x) dx=∫0,51f−1(x) dx\int_{-0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{-0{,}5}^{0{,}5} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x.

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