Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließt die Bebauung des Ortes an.

© Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 | 0 | 0)$, $B(523 | 20 | 0)$, $C$ und $D(0 | 0 | 65)$ modelliert; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

a) (3)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$]

Damit eine sichere Landung gelingt, muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ mit einer Länge von $20\text{ m}$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Diese Strecke teilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

b) (1)

Stellen Sie die Strecke $s$ mithilfe einer Parameterform dar.

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug auf einem Kurs längs der Geraden$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},$$welche die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit$$S\left( \frac{652891}{1046a - 2015} + 670 \;\Big|\; 10 \;\Big|\; \frac{-42122a}{1046a - 2015} + 22 \right)$$schneidet. [Nachweis nicht erforderlich]

b) (2) (i)

Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

b) (2) (ii)

Ermitteln Sie alle Werte von $a$, für die die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt.