Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot \mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R},$$$$h(x)=x-3,\quad x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie rechnerisch die zwei Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen lauten $x=0$ und $x=3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$.

Eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$ ist $D(x)=(4-x)\cdot \mathrm{e}^x+0{,}5\cdot x^2-3\cdot x$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von $h$ und $f$ umschlossen wird.