Aufgabe B5 - Funktionen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a)

(1) Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle besitzt, und geben Sie zudem den Grenzwert von $f_1$ für $x \to \infty$ an.

(2) In Abbildung 1 ist der Graph von $f_1$ dargestellt, das zugehörige Koordinatensystem fehlt jedoch.

Zeichnen Sie die Koordinatenachsen samt passender Skalierung in die Abbildung ein.

b)

Der Graph von $f_0$ verläuft als Gerade.

Geben Sie sowohl die Steigung dieser Geraden als auch die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$-Achse an.

e)

(1) Für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$ treffen die folgenden Aussagen zu:

I) $f_a(0) = 0$

II) $f_a'(0) = f_0'(0)$

III) $f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \Leftrightarrow a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, welche Folgerungen sich aus diesen Aussagen für den Verlauf der Graphen der Schar ziehen lassen.