Aufgabe MMS 2 · 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

2 a) Folgerungen aus den drei Aussagen für den Verlauf der Graphen

Lösung: Alle Graphen der Schar schneiden sich im Koordinatenursprung und haben dort die gleiche Steigung. Keiner der Graphen hat einen weiteren Punkt mit einem anderen Graphen der Schar gemeinsam.

2 b) Nachweis der Streckungseigenschaft

Lösung: $$k \cdot f_a\left(\frac{x}{k}\right) = k \cdot \frac{x}{k} \cdot e^{-\frac{1}{2}a\left(\frac{x}{k}\right)^2+\frac{1}{2}} = x \cdot e^{-\frac{1}{2}\frac{a}{k^2}x^2+\frac{1}{2}} = f_{\frac{a}{k^2}}(x)$$

2 d) Lage der Punkte mit x · y < 0 im Koordinatensystem und Begründung, dass keiner auf einem Schargraphen liegt

Lösung: Die Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y < 0$ liegen im zweiten bzw. vierten Quadranten. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $e^{-\frac{1}{2}ax^2+\frac{1}{2}} > 0$. Daraus folgt $f_a(x) < 0$ für $x < 0$ und $f_a(x) > 0$ für $x > 0$. Damit gilt $x \cdot y \ge 0$ für alle Punkte der Graphen der Schar.

2 d) Nachweis, dass jeder Punkt mit x > 0 und y > 0 auf genau einem Graphen der Schar liegt

Lösung: Für jeden Punkt $(x|y)$ mit $x > 0$ und $y > 0$ gilt: $$f_a(x) = y \Leftrightarrow a = \frac{1}{x^2} \cdot \left(1 - 2 \cdot \ln\frac{y}{x}\right)$$ Also gibt es genau einen Wert von $a$, für den dieser Punkt auf dem Graphen von $f_a$ liegt.