Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Eine Firma vertreibt Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$

dargestellt. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband hat die Firma auch eine Smartwatch eingeführt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird im Modell durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$

modelliert.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband führte das Unternehmen auch eine Smartwatch am Markt ein. Im Modell wird die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$

beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie fünf Monate nach der Markteinführung die momentanen Änderungsraten des Absatzes von Fitnessarmband und Smartwatch.

(2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Markteinführung insgesamt verkauft wurden.

(3)

Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem seit der Markteinführung ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden. Geben Sie gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an.

Ja

Nein