Aufgabe A2 e · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR (2022)

Aufgabenstellung

Die Funktion gg wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=13x3−12x2−6x+5,x∈R.g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}.

e) In Abbildung 2 ist ein noch unvollständiges Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße XX mit den Parametern n=4n = 4 und p=0,5p = 0{,}5 dargestellt.

Bekannt ist: P4;0,5(X=0)=0,0625P_{4;0{,}5}(X = 0) = 0{,}0625.

Geben Sie mit Begründung die Werte P4;0,5(X=3)P_{4;0{,}5}(X = 3) und P4;0,5(X=4)P_{4;0{,}5}(X = 4) an.

Zeichnen Sie in Abbildung 2 die noch fehlenden Säulen ein.

Aufgabenstellung: Aufgabe A2 e · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Geben Sie P4;0,5(X=3)P_{4;0{,}5}(X = 3) an.

Lösung: 0,25

Geben Sie P4;0,5(X=4)P_{4;0{,}5}(X = 4) an.

Lösung: 0,0625

Begründung für P4;0,5(X=3)P_{4;0{,}5}(X = 3) und P4;0,5(X=4)P_{4;0{,}5}(X = 4)

Lösung: Aufgrund des Parameters p=0,5p = 0{,}5 ist die Binomialverteilung symmetrisch um den Erwartungswert μ=4⋅0,5=2\mu = 4 \cdot 0{,}5 = 2. Daher gilt P(X=3)=P(X=1)P(X = 3) = P(X = 1) und P(X=4)=P(X=0)P(X = 4) = P(X = 0).

Zeichnen Sie in Abbildung 2 die noch fehlenden Säulen ein.

Lösung: Für die Säule bei k=2k = 2 gilt: P4;0,5(X=2)=1−(0,0625+0,25+0,25+0,0625)=0,375P_{4;0{,}5}(X = 2) = 1 - (0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}25 + 0{,}0625) = 0{,}375 Die Säulen bei k=3k=3 (Höhe 0,250{,}25), k=4k=4 (Höhe 0,06250{,}0625) und k=2k=2 (Höhe 0,3750{,}375) sind entsprechend einzuzeichnen.

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