Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Den Längsschnitt dieses Abschnitts, wie ihn der Architekt entworfen hat, zeigt Abbildung 1.

¹ Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4, die äußeren Elemente, sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$ Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Realität für $1\text{ m}$.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders tragfähiger Spezialbeton verwendet. Er kostet $176\ \text{€}$ pro $\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\ \text{m}$ breit.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen. [3 Punkte]

€

Teilaufgabe e)

E3 wird weiterhin mit der folgenden Funktion modelliert: $$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$

e) (1) (i)

Im ersten Entwurf sind für E3 anfangs Materialkosten von $10\,800\ \text{€}$ vorgesehen.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 so bestimmen lässt, dass die Materialkosten $10\,800\ \text{€}$ betragen. [2 Punkte]

Die Gleichung liefert die Länge $d \approx 8{,}24\ \text{m}$.

e) (1) (ii)

Bestimmen Sie die Höhe von E4, die daraus folgt. [1 Punkt]

m

e) (1) (iii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest $1{,}5\ \text{m}$ lang ist. [1 Punkt]

[Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 betragen ungefähr $3\,500\ \text{€}$.]

€

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\ \text{€}$ betragen dürfen.

e) (2) (i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

%

e) (2) (ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin $1{,}5\ \text{m}$ lang sein.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so ermitteln lässt, dass E3 und E4 zusammen genau $12\,000\ \text{€}$ Materialkosten verursachen. [2 Punkte]

[Hinweis: Die Gleichung soll nicht gelöst werden.]