Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für dessen Längsschnitt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse modelliert.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb für sämtliche $x \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(x)=f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diese Eigenschaft geometrisch.