Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung LK · Teil A · Lineare Algebra (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet werden stochastische Matrizen, d. h. quadratische Matrizen, deren Spaltensummen jeweils gleich eins sind und in denen alle Elemente größer als null oder gleich null sind.

Gegeben ist die stochastische Matrix $M = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}3 \\ 0{,}6 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ . Bestimmen Sie einen Vektor $\vec{v}$ mit $\vec{v} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , für den $M \cdot \vec{v} = \vec{v}$ gilt. [2 BE]

$\vec{v} = \left($ $

$ $\right)$

Zeigen Sie: [3 BE]

Ist $N$ eine stochastische $2 \times 2$ -Matrix und $\vec{u}$ ein Vektor mit der Spaltensumme 5, d. h. ein Vektor, bei dem die Summe der Komponenten 5 ist, dann ist auch $N \cdot \vec{u}$ ein Vektor mit der Spaltensumme 5.

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Bestimmen Sie einen Vektor v mit v != (0,0)^T: Komponente v_x

Lösung: 1

a) Bestimmen Sie einen Vektor v mit v != (0,0)^T: Komponente v_y

Lösung: 2

b) Zeigen Sie: Ist N eine stochastische 2x2-Matrix und u ein Vektor mit der Spaltensumme 5, dann ist auch N·u ein Vektor mit der Spaltensumme 5.

Lösung: Mit $N = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ und $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix}$ ergibt sich $N \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} a \cdot u_x + b \cdot u_y \\ c \cdot u_x + d \cdot u_y \end{pmatrix}$ . Die Summe der Komponenten ist: $a \cdot u_x + b \cdot u_y + c \cdot u_x + d \cdot u_y = (a + c) \cdot u_x + (b + d) \cdot u_y = 1 \cdot u_x + 1 \cdot u_y = u_x + u_y = 5$ .

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