Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}\text{.}$$

(1)

Begründen Sie, weshalb der Graph von $f_2$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse verläuft.

Ihre Begründung wurde erfasst. Bitte vergleichen Sie diese mit der Musterlösung.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}\text{.}$$

(2)

Es existiert ein Wert von $k$, bei dem $f_k$ an der Stelle $x = 1$ eine Wendestelle aufweist. Berechnen Sie diesen Wert von $k$.

Die Funktionenschar $f_k$ wird durch die folgende Gleichung festgelegt: $$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad k \in \mathbb{R}, \quad k \neq 0.$$

(1)

Zeigen Sie rechnerisch: $f_k'(x) = \left(-k\cdot x + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}$.

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie benutzen: $f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k\cdot \mathrm{e}^{-1}$.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum haben.

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$, die durch die folgenden Gleichungen festgelegt sind:

$$f(x)=(x-3)\\cdot\\mathrm{e}^x, \\quad x\\in\\mathbb{R},$$

$$h(x)=x-3, \\quad x\\in\\mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die zwei Stellen, an denen sich die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ schneiden.

[Kontrollergebnis: Die Schnittstellen lauten $x = 0$ und $x = 3$.]

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$, die durch die folgenden Gleichungen festgelegt sind:

$$f(x)=(x-3)\\cdot\\mathrm{e}^x, \\quad x\\in\\mathbb{R},$$

$$h(x)=x-3, \\quad x\\in\\mathbb{R}.$$

(2)

Im Bereich zwischen den Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$.

Die Funktion $D(x) = (4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$, für die $d(x) = h(x) - f(x)$ gilt.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen von $h$ und $f$ liegt und von diesen begrenzt wird.

Gegeben sind die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$; dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_F$ von $F$.

(1)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x$.

(2)

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für den Funktionswert von $f$ an der Stelle 1.

Betrachtet werden die Gerade $g:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix},\,r\in\mathbb{R}$ sowie die Ebene $E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix},\,s,t\in\mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass $g$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht.

(2)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $D$, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet.

$D($ $|$ $|$ $)$

Es seien die Punkte $A(-5|5|-3)$ und $B(-1|1|-1)$ vorgegeben.

Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AB}$ an...

$M($ $|$ $|$ $)$

...und bestimmen Sie eine Gleichung jener Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$, welche zur $x_1x_3$-Ebene parallel liegt.

$\vec{x} = ($ $\\$ $\\$ $) + s \cdot ($ $\\$ $\\$ $)$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Gegeben sei der Punkt $R(z \mid f(z))$ für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ ist der Graph der Funktion $t$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ herangezogen, für $x \ge z$ der Graph von $t$. Abbildung 2 stellt diese Situation für das Beispiel $z = 3{,}9$ dar.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so ermitteln, dass diese Fläche 4 Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

Der Graph der Funktion $g_k$ hat den Hochpunkt $H_k$ mit $H_k\left(3 + \frac{1}{k} \;\middle|\; 4 \cdot k \cdot \mathrm{e}^{-1}\right)$.

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ zusammen mit dem Graphen von $g_{1{,}5}$ in Abbildung 3 dargestellt.

Teilaufgabe a)

(1)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen gemeinsamen Punkt $N$ mit der $x$-Achse sowie genau einen Hochpunkt $H$.

Geben Sie die Koordinaten von $N$ an. Ermitteln Sie die Koordinaten von $H$.

(4)

Für jedes $3 < u \le 9$ sind $N(3|0)$, $P(9|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i)

Begründen Sie, dass man den Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ abhängig von $u$ mit der Gleichung $A_{NPQ_u}(u) = 3\cdot f(u)$ berechnen kann.

(ii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ am größten ist.

(iii)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt.

Teilaufgabe b)

(1)

(i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I ($t(z) = f(z)$) und II ($t'(z) = f'(z)$) gewählt werden.

(2)

Aus den Bedingungen ergibt sich $z \approx 3{,}9428$. Es gilt: $f'(x) = -\frac{1}{2}\cdot (27\cdot x - 99)\cdot e^{-1{,}5(x-3)}$.

(i)

Bestimmen Sie für $z = 3{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z|f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert.

(ii)

Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$.

Teilaufgabe c)

(1)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Funktionenschar $g_k$ die $x$-Achse nur in einem Punkt schneidet.

(2)

Ohne Nachweis darf man verwenden: $g_k''\left(3 + \frac{1}{k}\right) = -4\cdot k^3\cdot e^{-1}$.

Bestimmen Sie rechnerisch, abhängig von $k$, die Extremstelle sowie die Art des Extremums des Graphen von $g_k$.

(4)

Die Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ haben außer $N(3|0)$ genau einen weiteren Schnittpunkt $S$.

(i)

Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$.

(ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3.

(5)

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründen Sie ohne weitere Berechnung anhand des Hochpunktes $H_a$, ob $a$ größer oder kleiner als $1{,}5$ ist.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x-3)}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Gegeben sei der Punkt $R(z \mid f(z))$ für ein $z$ mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ ist der Graph der Funktion $t$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ herangezogen, für $x \ge z$ der Graph von $t$. Abbildung 2 stellt diese Situation für das Beispiel $z = 3{,}9$ dar.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so ermitteln, dass diese Fläche 4 Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

Der Graph der Funktion $g_k$ hat den Hochpunkt $H_k$ mit $H_k\left(3 + \frac{1}{k} \;\middle|\; 4 \cdot k \cdot \mathrm{e}^{-1}\right)$.

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ zusammen mit dem Graphen von $g_{1{,}5}$ in Abbildung 3 dargestellt.

Teilaufgabe a)

(2)

Zwischen dem Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x=7$ liegt eine eingeschlossene Fläche.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.

(3)

Geben Sie sowohl den Wert von $\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ für $w \to \infty$ als auch dessen geometrische Bedeutung an.

Teilaufgabe b)

(1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III aussagt:

$$\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$$

Teilaufgabe c)

(3)

Eine Stammfunktion der Funktion $g_k$ ist die Funktion $G_k$ mit $G_k(x) = -4\cdot k \cdot \left(x - 3 + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}$.

Für $x \ge 3$ begrenzen die $x$-Achse und der Graph der Funktion $g_k$ die nach rechts offene Fläche $A$.

Prüfen Sie rechnerisch, ob der Flächeninhalt von $A$ vom Parameter $k$ abhängig ist.

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb für jedes $x \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(x) = f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

(2)

Ermitteln Sie rechnerisch, welchen Höhenunterschied der höchste und der tiefste Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 zueinander haben.

(3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4)

Aus Sicherheitsgründen darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn höchstens 0,85 betragen.

Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

Teilaufgabe e)

Der Abschnitt E3 wird zuletzt mit der Länge $d = 7{,}5\text{ [m]}$ gebaut.

Um die Fahrten der Skater auf E3 aufzunehmen, soll eine Kamera in einer Höhe von $5\text{ m}$ über der unteren Randlinie von E3 angebracht werden. Vereinfachend wird ihre Position durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ beschrieben.

(1)

Ermitteln Sie den Wert von $x_K$, bei dem $K$ von den Punkten $B$ und $C$ denselben Abstand hat.

(2)

Bestimmen Sie den kleinsten Abstand zwischen dem Punkt $K(8{,}49 \mid 5)$ und dem Graphen von $g$.

Teilaufgabe f)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h_u$ verwendet mit

$$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1)

Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen.

(2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ aufweist.

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die Modellierung der oberen Randlinie von Element E3 wird eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades verwendet. Ihr Graph stimmt im Punkt $B$ im Funktionswert und in der Steigung mit dem Graphen von $f$ überein (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 befindet sich dabei in einer horizontalen Entfernung von $3,6\text{ m}$ vom Punkt $B$.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$.

[5 Punkte]

Modellierung eines Skateparks

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Längsschnitt dieses Abschnitts nach dem Entwurf des Architekten.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4 als äußere Elemente sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die beiden ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse dargestellt.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mithilfe der Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \quad, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er verursacht Materialkosten von $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen.

[4 Punkte]

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 folgende Gleichung zugrunde:

$$g(x) = \frac{11}{150}(x-8{,}4)^2 + \frac{132}{125}.$$

d) (1) (i)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit deren Hilfe sich die Länge $d$ des Elements E3 bestimmen lässt, bei der die Materialkosten $10\,800\text{ €}$ betragen.

[2 Punkte]

Die Gleichung liefert als Lösung eine Länge von $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

d) (1) (ii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn die Länge von E4 fest $1{,}5\text{ m}$ beträgt.

[2 Punkte]

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 insgesamt höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst, während E4 weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang bleibt.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 ermitteln lässt, sodass E3 und E4 zusammen Materialkosten von genau $12\,000\text{ €}$ verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.]

[2 Punkte]

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für jedes $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ definiert.

Hintergrund (Teil b)

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Hintergrund (Teil c)

Die Gleichung $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

Abbildung 2

Zugelassene Hilfsmittel

GTR (Grafikfähiger Taschenrechner)

Mathematische Formelsammlung

Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

Herkunftssprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Herkunftssprache nicht Deutsch ist

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B$ an.

(2)

Gegeben sei für $a \ge 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$.

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_aEF$ bei $E$ für alle $a \ge 0$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Bestimmen Sie $0 \le a \le 246$ so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $G_aEF$ $780\cdot \sqrt{41}\text{ FE}$ beträgt.

(4)

Für $a = 246$ ist $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ besitzt den Flächeninhalt $2400\text{ FE}$.

Bestimmen Sie das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

[Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Teilaufgabe b)

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ durch diese Kürzung kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

Teilaufgabe c)

(2)

Berechnen Sie den Winkel, den $E_{\text{Dach}}$ mit der Ebene $E_{\text{Wand}}$ einschließt, welche die Wandfläche $BCFE$ enthält.

°

(3)

Über der Dachfläche soll eine Solarkollektorfläche in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene errichtet werden (siehe Abbildung 2). Diese Ebene liegt $2{,}5\text{ m}$ von der Dachfläche $GEF$ entfernt.

Bestimmen Sie rechnerisch die $x_3$-Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P(0|100|z)$.

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für jedes $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ definiert.

Hintergrund (Teil b)

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im verwendeten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Hintergrund (Teil c)

Die Gleichung $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

Abbildung 2

Zugelassene Hilfsmittel

GTR (Grafikfähiger Taschenrechner)

Mathematische Formelsammlung

Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung

Herkunftssprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Herkunftssprache nicht Deutsch ist

Teilaufgabe b)

(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ in Parameterform dar.

(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen.

Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}$$modelliert werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass auf der Geraden $g$ ein Punkt liegt, der zur dreieckigen Dachfläche $GEF$ gehört.

Teilaufgabe c)

(1)

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b$, $b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben.

Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

Bestimmen Sie den Wert von $b$, für den $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

[Zur Kontrolle: $b = -584$.]

Aufgabenstellung

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen eingesetzt werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine hohe Qualität aufweisen.

a) Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97\,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1{,}5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stellen Sie die geschilderte Situation im nachstehenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bei einer zufällig entnommenen Schraube ist die Beschichtung fehlerhaft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Schraube auch der Schraubenkörper fehlerhaft ist.

Aufgabenstellung

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen eingesetzt werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine hohe Qualität aufweisen.

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt 4,5 % der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

b) (1)

Für eine Untersuchung werden der Produktion zufällig 500 Schrauben entnommen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 dieser Schrauben fehlerhaft sind.

b) (2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 200 davon fehlerfrei sind.

c) (1)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt 5000 fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

Ermitteln Sie, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens 5000 beträgt.

c) (2)

Produziert werden 5236 Schrauben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ deckt.

e) (1)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\text{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\text{m}$) beschreiben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in $\mu\text{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen 7,5 und 8,5 liegt.

e) (2)

Für eine Normalverteilung mit der Dichtefunktion $\varphi$ heißt die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\mathrm{d}t$ Verteilungsfunktion.

Abbildung 1 zeigt die Dichtefunktion einer Normalverteilung, Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie für jede der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann.

Nein

Ja

Ja

Nein

Aufgabenstellung

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen eingesetzt werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine hohe Qualität aufweisen.

„Wind 24" reklamiert bei „Schraubenwind" einen deutlichen Qualitätsverlust der gelieferten Schrauben: Etwa 8 % davon seien defekt. „Schraubenwind" will diese Behauptung überprüfen und entnimmt dazu der laufenden Produktion zufällig 200 Schrauben, die auf ihre Qualität untersucht werden. Da „Wind 24" der bedeutendste Kunde von „Schraubenwind" ist, möchte die Firmenleitung die Wahrscheinlichkeit begrenzen, die Beschwerde von „Wind 24" abzulehnen, obwohl die Fehlerquote der Schrauben in Wirklichkeit 8 % beträgt. Dafür wird ein Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt.

(1)

Bestimmen Sie für diesen Hypothesentest eine passende Entscheidungsregel.

(2)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24" nicht ablehnt, wenn die Fehlerquote der Produktion weiterhin lediglich 4,5 % beträgt.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$ Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zuerst werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a)

(1) Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle besitzt, und geben Sie zudem den Grenzwert von $f_1$ für $x \to \infty$ an.

(2) In Abbildung 1 ist der Graph von $f_1$ ohne das dazugehörige Koordinatensystem dargestellt.

Zeichnen Sie die Koordinatenachsen samt geeigneter Skalierung in die Abbildung ein.

b)

Der Graph der Funktion $f_0$ verläuft geradlinig.

Geben Sie sowohl die Steigung dieser Geraden als auch die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der $y$-Achse an.

e)

Im Folgenden werden sämtliche Funktionen der vorgegebenen Schar untersucht.

(1) Für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$ treffen diese Aussagen zu:

I) $f_a(0) = 0$

II) $f_a'(0) = f_0'(0)$

III) $f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \Leftrightarrow a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, welche Schlüsse sich aus diesen Aussagen für den Verlauf der Graphen der Schar ziehen lassen.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$ Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zuerst werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

c)

Der Punkt $P(1\mid \mathrm{e})$ ist für einen bestimmten Wert von $a$ ein Punkt des Graphen von $f_a$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ sowie die Steigung der Tangente, die den Graphen von $f_a$ in $P$ berührt.

[3 Punkte]

e) (2)

Für jedes $a \neq 0$ sind die Wendestellen von $f_a$ genau die Lösungen der Gleichung $(a\cdot x^2 - 3)\cdot x = 0$.

Geben Sie die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ für sämtliche Werte von $a \in \mathbb{R}$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

[5 Punkte]

Anzahl der Wendestellen für $a = 0$:

Anzahl der Wendestellen für $a < 0$:

Anzahl der Wendestellen für $a > 0$:

e) (3)

Sämtliche Extrempunkte der Graphen dieser Schar befinden sich auf einer gemeinsamen Geraden.

Begründen Sie, dass diese Gerade durch die Gleichung $y = x$ beschrieben wird.

[3 Punkte]

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$ Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zuerst werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a) (3)

Interpretieren Sie die nachstehende Aussage in geometrischer Hinsicht:

Es gilt für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ sowie für jede reelle Zahl $u > 2022$:

$$F_1(u) - F_1(0) \approx \int_0^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x$$

d)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass $\displaystyle\int_{-0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^1 f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x$ gilt.