Aufgabe A1 - Teilaufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

Aufgabenstellung:

a) Das Umweltbundesamt erfasst fortlaufend die Konzentration von Stickstoffdioxid in der Luft. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60,\quad t \in \mathbb{R},\ 0 \leq t \leq 10$$ beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g/m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Stickstoffdioxidkonzentration $4\ \mu\text{g/m}^3$ pro Stunde beträgt.