Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an, die nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren müssen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW betragen kann.

Bei einem Rennen eines solchen Dragsters wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s), $f(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) an.

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start dar.

a)

(1) Geben Sie den Wert der Funktion $f$ an der Stelle 2 an und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Augenblick des Starts des Dragsters befindet es sich unmittelbar neben ihm. Die Funktion $g$ modelliert diese konstante Geschwindigkeit des Kamerafahrzeugs, dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1) Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und ermitteln Sie, für welche Dauer das Kamerafahrzeug innerhalb der ersten sechs Sekunden eine größere Geschwindigkeit hat als der Dragster.