Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie $G(0|0|146)$.

Abbildung 1

Bei dem Körper $ABCDEF$, der in Abbildung 1 zu sehen ist, handelt es sich um ein dreieckiges Prisma.

Für $a \geq 0$ sei der Punkt $G_a(0|0|a)$ betrachtet.

Ein Architekturbüro entwirft einen neuen Wolkenkratzer, den der Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert. Dabei steht im Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

Durch $E_b: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 - 4\cdot x_3 = b,\ b \in \mathbb{R}$, ist eine Schar von parallelen Ebenen gegeben. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Es gibt einen Wert von $b$, sodass $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt.

In einer Ebene parallel zur Dachfläche $GEF$ soll oberhalb des Dachs eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Der Abstand dieser Ebene zur Dachfläche $GEF$ beträgt 2,5 m.

Teilaufgabe b

(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ mithilfe einer Parameterform dar.

(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$

beschrieben werden kann.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die dreieckige Dachfläche $GEF$ einen Punkt der Geraden $g$ enthält.

Teilaufgabe c

Die Gleichung $E_b: 3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 = b$, $b \in \mathbb{R}$, beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

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