Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Häuser des Ortes reichen direkt bis an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Realität.

a) (3)

Stellen Sie eine Parametergleichung für diejenige Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

b)

Damit eine Landung sicher verläuft, muss das Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ mit einer Länge von $20\text{ m}$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Sie teilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 392{,}25 \\ 0 \\ 16{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in [0;1], \text{ ist eine Parameterform der Strecke } s.$$Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug entlang der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$Prüfen Sie rechnerisch, ob das Flugzeug aufsetzt im ersten Viertel der Landebahn, wenn es seinen Kurs beibehält.

Ja

Nein

c) (1)

Damit Landungen sicher bleiben, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R}, \text{ im Abstand von } 12\text{ m zur Landebahn fliegen.}$$Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachzusammenhang liegt.