Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabenstellung

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; beim Landen rollen die Flugzeuge dabei auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

1 © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

a) (3)

Stellen Sie eine Parametergleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

b)

Damit eine Landung sicher verläuft, muss das Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine $20\text{ m}$ lange gerade Strecke $s$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Diese Strecke unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 392{,}25 \\ 0 \\ 16{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in [0; 1],$$ist eine Parameterdarstellung der Strecke $s$.

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug auf der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$Prüfen Sie rechnerisch, ob das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

Ja

Nein

c) (1)

Damit Landungen sicher bleiben, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierzu soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R},$$verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat.

[Hinweis: Den Abstand misst man senkrecht zur Landebahn.]

Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachkontext liegt.