Aufgabe B1 - Teilaufgaben b(1) und b(2) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den nachstehenden Teilaufgaben sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ trägt dabei die Bezeichnung $f$.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis dürfen Sie im Weiteren folgende Gleichung benutzen: $f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot\left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

b) (1)

(i) Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extrema besitzt.

(ii) Geben Sie an, welche maximale Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Für die Maximalstelle von $f$ gilt $t_{\text{max}} = 6$.]

b) (2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie in diesem Moment ihren größten Wert annimmt.