Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung LK · Teil A · Lineare Algebra (2022)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Matrix M=(131−1)M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

a)

Für jeden Vektor u⃗=(u1u2)\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} mit u1,u2∈Ru_1, u_2 \in \mathbb{R} gilt M2⋅u⃗=a⋅u⃗M^2 \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u}, wobei aa eine reelle Zahl ist. Ermitteln Sie den Wert von aa.

a=a =

b)

Bestimmen Sie alle Vektoren v⃗=(v1v2)\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} mit v1,v2∈Rv_1, v_2 \in \mathbb{R}, für die M⋅v⃗=2⋅v⃗M \cdot \vec{v} = 2 \cdot \vec{v} gilt.

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Für jeden Vektor u⃗=(u1u2)\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} mit u1,u2∈Ru_1, u_2 \in \mathbb{R} gilt M2⋅u⃗=a⋅u⃗M^2 \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u}, wobei aa eine reelle Zahl ist. Ermitteln Sie den Wert von aa.

Lösung: 4

b) Bestimmen Sie alle Vektoren v⃗=(v1v2)\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} mit v1,v2∈Rv_1, v_2 \in \mathbb{R}, für die M⋅v⃗=2⋅v⃗M \cdot \vec{v} = 2 \cdot \vec{v} gilt.

Lösung: v⃗=(3bb)\vec{v} = \begin{pmatrix} 3b \\ b \end{pmatrix} mit b∈Rb \in \mathbb{R} / v1=3v2v_1 = 3v_2

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