Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Traditionell misst die Strecke eine Viertel- oder Achtelmeile. Die dafür eingesetzten Fahrzeuge, sogenannte Dragster, erreichen Leistungen von bis zu mehreren tausend PS bzw. kW.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Diese lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a)

(1)

Geben Sie an, welchen Funktionswert $f$ an der Stelle 2 besitzt, und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

(2)

Ermitteln Sie rechnerisch, an welcher Stelle $t_{\max}$ die Funktion $f$ ihr Maximum annimmt, und geben Sie die größte Geschwindigkeit des Dragsters an.

[Zur Kontrolle: $t_{\max} = 6$.]

(3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.