Aufgabe WTR 1 - 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Aufgabenstellung

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=180x5−16x3+xf(x) = \frac{1}{80}x^5 - \frac{1}{6}x^3 + x.

Der Punkt W(2∣f(2))W(2 \mid f(2)) ist ein Wendepunkt von GfG_f.

e

Begründen Sie geometrisch, dass der Wert des Integrals ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x und der Wert des Terms 12⋅(2+1415)⋅1615\frac{1}{2}\cdot \left(2 + \frac{14}{15}\right)\cdot \frac{16}{15} annähernd übereinstimmen.

f

In der Teilaufgabe e ist der Wert des Integrals ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x näherungsweise angegeben. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des angegebenen Näherungswerts vom exakten Wert des Integrals.

%

Aufgabenstellung: Aufgabe WTR 1 - 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

e Begründen Sie geometrisch, dass der Wert des Integrals ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x und der Wert des Terms 12⋅(2+1415)⋅1615\frac{1}{2}\cdot \left(2 + \frac{14}{15}\right)\cdot \frac{16}{15} annähernd übereinstimmen.

Lösung: Der Wert des Integrals stimmt näherungsweise mit dem Inhalt des Trapezes überein, dessen Höhe 1615\frac{16}{15} beträgt und dessen parallele Seiten die Längen 22 bzw. 1415\frac{14}{15} haben.

f In der Teilaufgabe e ist der Wert des Integrals ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x näherungsweise angegeben. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des angegebenen Näherungswerts vom exakten Wert des Integrals.

Lösung: 7 % / ca. 6,9 %

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