Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Nachtermin · GTR

Aufgabenstellung:

a) Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \ 0 \le t \le 10$$

beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist. [1 Punkt]

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie den Wert im Sachzusammenhang. [2 Punkte]

(3)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Stickstoffdioxidkonzentration momentan um $4\ \mu\text{g}/\text{m}^3$ pro Stunde zunimmt. [2 Punkte]

b) Betrachtet wird die Funktion $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$, deren Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ sind.

(1)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$-Achse begrenzen.

(2)

Gegeben ist die Funktionenschar $g_a$ mit $g_a(x) = a \cdot f(x+2)$, $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$.

Geben Sie mit Begründung an, wie sich der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $g_a$ und der $x$-Achse gegenüber dem Flächeninhalt aus (1) verändert.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x + 3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(1)

Geben Sie an, in welchem Punkt der Graph von $f_a$ die $y$-Achse schneidet.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x + 3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(2)

Die Funktion $f_a$ hat für jedes $a$ genau einen Extrempunkt $E$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $E$ in Abhängigkeit von $a$.

[Hinweis: Eine hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

Die Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d zeigen die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$. Von diesen Funktionen sind genau zwei keine Stammfunktionen von $f$.

Begründen Sie unter Verwendung der Graphen, welche der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ nicht als Stammfunktionen von $f$ in Frage kommen.

Wählen Sie die zwei Funktionen aus, die keine Stammfunktionen von $f$ sind:

Funktion

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von $f$ an.

$F(x) =$

Betrachtet werden die Ebene $E: 5\cdot x_1 + 2\cdot x_2 - x_3 = -4$ und die Punkte $A(2|1|2)$ sowie $B_u(u|2u|u)$ mit $u \in \mathbb{R}$. Dabei gehört $A$ nicht zu $E$.

(1)

Zu jedem $u \in \mathbb{R}$ gehört eine Gerade $g_u$, die die Punkte $A$ und $B_u$ verbindet.

Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den $g_u$ parallel zu $E$ liegt.

(2)

Geben Sie eine Parameterdarstellung derjenigen Ebene $F$ an, in der der Punkt $A$ und sämtliche Punkte $B_u$ mit $u \in \mathbb{R}$ liegen.

Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A(a_1|a_2)$, $B$ und $C(c_1|c_2)$ mit reellen Zahlen $a_1$, $a_2$, $c_1$ und $c_2$ legen in der $x_1x_2$-Ebene ein Parallelogramm $OABC$ fest.

Zusätzlich seien die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix}a_1 + c_1\\a_2 + c_2\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}a_1 - c_1\\a_2 - c_2\end{pmatrix}$ gegeben.

Abbildung 3 zeigt das Parallelogramm $OABC$.

(1)

Von den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gehört der eine zur Diagonalen $e$ und der andere zur Diagonalen $f$.

Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren der Diagonalen $f = \overline{CA}$ zugeordnet ist.

$\vec{u}$

$\vec{v}$

(2)

Als Raute bezeichnet man ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.

Beweisen Sie: Stehen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht aufeinander, so ist das Parallelogramm eine Raute.

e) Eine Firma konzipiert einen Test aus mehreren Fragen. Bei jeder Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort zu erraten, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, ohne sich jemals mit dem Thema befasst zu haben; er gibt daher bei jeder Frage eine zufällige Antwort.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen und wird als binomialverteilt angenommen.

Wegen der Struktur des Tests ist zu erwarten, dass Jonas durch Raten sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht.

(2)

Jonas will mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % wenigstens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas hierfür mindestens bearbeiten muss.

(3)

Auch bei einem weiteren Test beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Frage durch Raten richtig zu beantworten, $\frac{1}{4}$. Die Anzahl der richtigen Antworten lässt sich hier durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ modellieren. Die Standardabweichung von $Y$ beträgt 3.

Berechnen Sie, wie viele Fragen dieser Test enthält.

f) Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n = 4$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Ermitteln Sie die Werte, die in der nachstehenden Tabelle noch fehlen.

$k$

0

1

2

3

4

$P(X = k)$

$\frac{1}{16}$

$\frac{1}{16}$

Nur eine der beiden folgenden Abbildungen 3 und 4 stellt die kumulierten Werte $P(X \le k)$ der Zufallsgröße $X$ dar. Die andere Abbildung bezieht sich auf eine andere Zufallsgröße.

(2)

Entscheiden Sie mit Begründung, welche der Abbildungen 3 und 4 zu $X$ passt.

Abbildung 3

Abbildung 4

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

a) Ein Dragster erreicht schon nach zwei Sekunden eine Geschwindigkeit von $50\text{ m/s}$.

(1)

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $k$.

(2)

Bei einem zweiten Dragster ist $k = 0{,}2$.

Während der ersten vier Sekunden erreicht keines der beiden Fahrzeuge seine Höchstgeschwindigkeit. In diesem Zeitraum ist stets eines der beiden Fahrzeuge schneller als das andere.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster in diesen vier Sekunden die größere Geschwindigkeit hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Funktionsterme.

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den nachstehenden Teilaufgaben sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ trägt dabei die Bezeichnung $f$.

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Ohne Beweis dürfen Sie im Weiteren folgende Gleichung benutzen: $f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot\left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

b) (1)

(i) Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extrema besitzt.

(ii) Geben Sie an, welche maximale Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Für die Maximalstelle von $f$ gilt $t_{\text{max}} = 6$.]

b) (2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie in diesem Moment ihren größten Wert annimmt.

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die momentane Geschwindigkeit des betrachteten Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

Teilaufgabe b(3)

Mit $F(t)$ soll die Länge des Weges modelliert werden, den der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zu einem Zeitpunkt $t$ zurücklegt. Die Funktion $F$ muss dabei die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllen.

(i)

Begründen Sie, warum die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt. [1 Punkt]

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung für $F$ an, mit der $F$ zusammen mit $F'(t) = f(t)$ eindeutig bestimmt ist. [1 Punkt]

Teilaufgabe c

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\ \mathrm{m/s}$. Beim Start des Dragsters ist es genau auf gleicher Höhe mit ihm. Die Funktion $g$ modelliert diese konstante Geschwindigkeit; dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in Abbildung 1 ein und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von $f$ und $g$ für $0 \leq t \leq t_{\max}$. [3 Punkte]

$($

$\mid$

$)$

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ ungefähr $29{,}3$. Erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet. [2 Punkte]

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang und ohne weitere Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0;6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie dieses Maximum an. [3 Punkte]

(4)

Für genau einen Wert von $a$ mit $0 < a < 6$ gilt $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t = 0$. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, welche Bedeutung er im Sachzusammenhang hat. [4 Punkte]

Teilaufgabe d

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Sobald der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei und überquert in dieser Zeit die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\ \mathrm{m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase konstanter Geschwindigkeit grafisch dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert. [4 Punkte]

s

Der Fahrer beginnt acht Sekunden nach dem Start zu bremsen. Ab diesem Zeitpunkt beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach $20$ Sekunden steht der Dragster still.

(2)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung für die Funktion $b$. [4 Punkte]

(3)

Im Anschluss an die Ziellinie liegt eine „Bremszone“ mit einer Länge von $805\ \mathrm{Metern}$. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone zum Stillstand kommt. [4 Punkte]

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{1}{8} x^4 - \frac{3}{4} x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$In der Abbildung ist der Graph von $f$ zu sehen:

Aufgabenstellung:

a) Es sei $f$ eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Außerdem ist der Punkt $W_2\left(1\middle|-\frac{5}{8}\right)$ ein Wendepunkt des Graphen von $f$.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie anhand der gegebenen Angaben eine Funktionsgleichung für $f$.

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2$, $x \in \mathbb{R}$.]

$f(x) =$

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{1}{8} x^4 - \frac{3}{4} x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$In der Abbildung ist der Graph von $f$ zu sehen:

b) Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1)

Weisen Sie nach, dass sich der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ darstellen lässt als:

$$A(u) = -\frac{1}{16}\cdot u^5 + \frac{3}{8}\cdot u^3$$

(2)

Ermitteln Sie den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$.

FE

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ mit $$f(x) = \frac{1}{8} x^4 - \frac{3}{4} x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$In der Abbildung ist der Graph von $f$ zu sehen:

Teilaufgabe c

Der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$ stellt die Sekante dar, die die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verbindet.

(1)

Zeichnen Sie die Sekante in die Abbildung ein.

Die Sekante schneidet den Graphen von $f$ außerdem an den Stellen $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

(2)

Weisen Sie rechnerisch nach: $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx = 0$.

(3)

Begründen Sie mithilfe dieses Ergebnisses (z. B. anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung:$$\int_{-1}^{1} (f(x) - s(x))\,dx = 2 \cdot \int_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x) - f(x))\,dx$$

Teilaufgabe d

(1)

Zeigen Sie: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ ist der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right) \cdot x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

(2)

Die Stellen, an denen gemeinsame Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ liegen, sind die Nullstellen der Differenzfunktion $d_b$ mit $d_b(x) = t_b(x) - f(x)$.

Es gilt: $d_b(x) = -\frac{1}{8}(x - b)^2 \cdot (x^2 + 2bx + 3b^2 - 6)$.

[Die Gleichung der Differenzfunktion können Sie ohne Nachweis verwenden.]

Ermitteln Sie rechnerisch in Abhängigkeit von $b$ die Stellen, an denen gemeinsame Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ liegen.

(3)

(i) Geben Sie für $b = 1$ die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ an, an denen gemeinsame Punkte der Graphen von $f$ und $t_1$ liegen, und zeichnen Sie den Graphen von $t_1$ in die Abbildung ein.

(ii) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von $f$ und $t_1$ eingeschlossen wird.

(4)

(i) Neben $b = 1$ gibt es noch drei weitere Werte von $b$, für die die Graphen der Funktionen $f$ und $t_b$ eine Fläche einschließen, die aus nur einem Teilstück besteht.

Ermitteln Sie diese Werte.

(ii) Begründen Sie, dass die Graphen der Funktionen $f$ und $t_b$ für $b < -\sqrt{3}$ und für $b > \sqrt{3}$ keine Fläche einschließen.

(5)

Die Funktion $t_{\frac{3}{2}}$ hat die Gleichung $t_{\frac{3}{2}}(x) = -\frac{9}{16}x - \frac{27}{128},\ x \in \mathbb{R}$.

[Diese Funktionsgleichung kann ohne Nachweis verwendet werden.]

Die Graphen der Funktionen $f$ und $t_{\frac{3}{2}}$ schließen eine Fläche ein, die aus zwei Teilstücken besteht.

Eine Schülerin behauptet, dass die größere der beiden Teilflächen mehr als achtmal so groß ist wie die kleinere Teilfläche.

Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

(6)

Im Bereich $1 < b < \sqrt{3}$ gilt für die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ (siehe d)(2)), an denen gemeinsame Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ liegen: $x_2 < x_3 < x_1$.

Die Graphen von $f$ und $t_b$ schließen für $1 < b < \sqrt{3}$ eine Fläche ein, die aus zwei Teilstücken besteht. Eines dieser Teilstücke liegt unterhalb des Graphen von $t_b$ und das andere Teilstück liegt oberhalb des Graphen von $t_b$.

[Diese Aussagen können Sie ohne Nachweis verwenden.]

Es gibt genau einen Wert von $b$ mit $1 < b < \sqrt{3}$, für den diese beiden Teilstücke den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung dieses Wertes an.

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht zu. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten von Punkt $C$ an. [1 Punkt]

(2) Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn eine Länge $|\overline{AD}|$ von etwa $527\text{ m}$ hat. [2 Punkte]

(3) Stellen Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$] [4 Punkte]

(4) Berechnen Sie den Winkel, den die Landebahn mit der Horizontalen einschließt, sowie die Steigung der Landebahn in Prozent. [3 Punkte]

b)

(1) Für eine sichere Landung muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten gibt es eine $20\text{ m}$ lange gerade Markierungsstrecke $s$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2) und die Landebahn im Verhältnis $1:3$ teilt.

Stellen Sie die Strecke $s$ in Parameterform dar. [3 Punkte]

(2) Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug auf einem Kurs längs der Geraden

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix}670 \\ 10 \\ 22\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-15{,}5 \\ 0 \\ a\end{pmatrix},\quad r\in\mathbb{R},$$

welche die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit $S\left(\frac{652891}{1046a-2015} + 670 \;\middle|\; 10 \;\middle|\; \frac{-42122a}{1046a-2015} + 22\right)$ schneidet. [Nachweis nicht erforderlich]

(i) Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei unverändertem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt. [1 Punkt]

$\le x_1 \le$

(ii) Ermitteln Sie sämtliche Werte von $a$, für die die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt. [3 Punkte]

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht zu. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$. Dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ hat.

a) (2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn eine Länge $|\overline{AD}|$ von etwa $527\text{ m}$ hat.

a) (3)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$]

a) (4)

Berechnen Sie sowohl den Winkel, um den die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, als auch ihre Steigung in Prozent.

c) (1)

Damit Landungen sicher sind, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür fliegt eine Drohne in einer Ebene $K$, die zur Ebene $E$ den Abstand $12\text{ m}$ hat. Bestimmen Sie rechnerisch einen Punkt der Ebene $K$.

c) (2)

Während das Flugzeug ausrollt, verläuft die rechte Tragflächenspitze auf einer Strecke der Geraden $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 355 \\ 18{,}5 \\ 24 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$. Rechts neben der Landebahn steht ein großer Baum, dessen Astspitze bei $Q(300 \mid 28 \mid 31)$ liegt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie weit die Gerade $h$ vom Punkt $Q$ entfernt ist.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise diese Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

a) Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, sind die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor zu berücksichtigen. Gemeinsam legen diese beiden Merkmale fest, welche Person für welche andere als Blutspender infrage kommt.

(1)

Weisen Sie nach, dass etwa 18,2 % der Personen mit der Blutgruppe B den Rhesusfaktor negativ haben.

(2)

Aus den Personen der Blutgruppe B werden zufällig zwei ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide ausgewählten Personen denselben Rhesusfaktor haben.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise diese Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

b) Für die folgenden Teilaufgaben gilt für jede Blutgruppe die Annahme, dass die Anzahl der Personen mit dieser Blutgruppe in einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Personen binomialverteilt ist. Die relativen Häufigkeiten der Tabelle sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 200 zufällig ausgewählten Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis $E$:

$E$: Die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A unter 200 zufällig ausgewählten Personen liegt höchstens 1,5-Standardabweichungen von ihrem Erwartungswert entfernt.

(3)

Die Abbildungen 1 – 3 zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen dreier binomialverteilter Zufallsgrößen. Eine davon beschreibt die Anzahl der Personen mit der Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen.

Begründen Sie für jede der beiden nicht passenden Abbildungen, weshalb sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Personen mit der Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen darstellen kann.

c) Blut der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ ist besonders wichtig. Wegen seiner guten Verträglichkeit wird es in Notfällen sehr oft verwendet.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 20 Blutspenden der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ erhält.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise diese Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppe kann sich darauf auswirken, wie schwer Erkrankungen verlaufen. Für eine bestimmte Erkrankung beträgt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der gesamten Bevölkerung $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin nimmt an, dass diese Wahrscheinlichkeit bei Menschen mit Blutgruppe A niedriger ist. Bevor sie veröffentlicht, testet sie ihre Annahme mit einem Hypothesentest zum Signifikanzniveau $5\,\%$. Dazu untersucht sie die Krankheitsverläufe von $1\,000$ zufällig ausgewählten Personen mit Blutgruppe A, die an dieser Krankheit erkrankt sind (im Folgenden: Erkrankte), und ermittelt, wie viele von ihnen einen schweren Verlauf haben.

Sie legt als Nullhypothese fest: $H_0: p \ge 0{,}1$.

(1)

Erläutern Sie, vor welchem Fehler sich die Wissenschaftlerin mit der gewählten Nullhypothese schützen möchte.

(2)

Von $1\,000$ zufällig ausgewählten Erkrankten mit Blutgruppe A haben $85$ einen schweren Verlauf dieser Erkrankung.

Beurteilen Sie, ob die Wissenschaftlerin aufgrund dieses Ergebnisses annehmen sollte, dass Personen mit Blutgruppe A eine geringere Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf dieser Erkrankung haben.

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten. Zudem steht ihnen Trinkwasser nur unregelmäßig zur Verfügung.

Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Im Folgenden wird die Schwankung der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars von 0 Uhr bis 20 Uhr an einem Wüstentag betrachtet.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

c) Die Körpertemperatur weiterer Dromedare lässt sich für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise durch Funktionen $f_a$ modellieren mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Dabei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Welchen Wert der Parameter $a$ annimmt, hängt von der Wasserversorgung des jeweiligen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeder der Graphen entspricht.

Graph I:

→

Graph II:

→

Graph III:

→

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten. Zudem steht ihnen Trinkwasser nur unregelmäßig zur Verfügung.

Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Im Folgenden wird die Schwankung der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars von 0 Uhr bis 20 Uhr an einem Wüstentag betrachtet.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch die Dauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\text{C}$ beträgt.

Stunden

(2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren ist sie aufgrund ihrer Anpassung an das Leben in der Wüste deutlich größer als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars für den betrachteten Zeitraum.

°C

c)

Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des jeweiligen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

(2)

Selbst unter extremen Bedingungen liegt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars weder über $42\ ^\circ\text{C}$ noch unter $34\ ^\circ\text{C}$.

(i)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, dass $f_a$ und die Funktion $k$ dieselben Extremstellen besitzen, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ die Funktionswerte $f_a(t)$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ weder über 42 noch unter 34 liegen.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht betrachtet werden.

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten. Zudem steht ihnen Trinkwasser nur unregelmäßig zur Verfügung.

Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Im Folgenden wird die Schwankung der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars von 0 Uhr bis 20 Uhr an einem Wüstentag betrachtet.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Der Ausdruck $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ liefert den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a;b]$.

b) (1)

Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

b) (2)

Nun sollen Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ mit dem Startzeitpunkt $u$ untersucht werden.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $u$, für die die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\,^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

$u_{\text{min}} \approx$

$u_{\text{max}} \approx$