Aufgabe A1 - Teilaufgabe f · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

f) Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A(a_1|a_2)$, $B$ und $C(c_1|c_2)$ mit reellen Zahlen $a_1$, $a_2$, $c_1$ und $c_2$ bestimmen in der $x_1x_2$-Ebene ein Parallelogramm $OABC$.

Zusätzlich seien die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} a_1+c_1 \\ a_2+c_2 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} a_1-c_1 \\ a_2-c_2 \end{pmatrix}$ gegeben.

Abbildung 3 zeigt das Parallelogramm $OABC$.

(1)

Von den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gehört einer zur Diagonalen $e$ und der andere zur Diagonalen $f$.

Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren die Diagonale $f = \overline{CA}$ beschreibt.

$\vec{u}$

$\vec{v}$

(2)

Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wird als Raute bezeichnet.

Beweisen Sie: Stehen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht aufeinander, so ist das Parallelogramm eine Raute.