Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur ertragen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von $0\text{ Uhr}$ bis $20\text{ Uhr}$ verändert.

Die Funktion $k$ beschreibt näherungsweise die Körpertemperatur dieses Dromedars für $0 \le t \le 20$ mit $$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$ Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a)

(1) Ermitteln Sie rechnerisch die Dauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

c)

Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des jeweiligen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

(1) Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$ sowie $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ welcher Graph zugeordnet ist.

Graph I:

Graph II:

Graph III: