Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes B an.

a) (2)

Gegeben ist für $a \geq 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$. Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_aEF$ für jedes $a \geq 0$ bei E einen rechten Winkel hat.

a) (3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis 2:1 teilen. Geben Sie einen Wert $a \geq 0$ an, für den $G_a$ diese Forderung erfüllt.

a) (4)

Für $a = 246$ ist $G_a = D$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks DEF sowie das Volumen des Prismas ABCDEF. [Zur Kontrolle: $V_{Prisma} = 590400$ VE.]

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, der als Körper mit den Eckpunkten ABCGEF modelliert wird. Im verwendeten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b) (1)

Aufgrund von Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um 100 m auf 146 m verkürzt. Dadurch wird vom Prisma ABCDEF eine Pyramide mit der Grundfläche DEF entfernt. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes ABCGEF kleiner ist als das Volumen des Prismas ABCDEF.

b) (2)

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$.