Aufgabe 1 (WTR 1) - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30-p) \cdot x^3 + (p-90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

Die Abbildung 2 ist im Vergleich zur Abbildung 1 um die Graphen $G_{-80}$ und $G_{250}$ der Funktionen $f_{-80}$ bzw. $f_{250}$ ergänzt.

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Der Übergang von der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit vor 15:00 Uhr zur Fahrt nach 15:00 Uhr erfolgt sowohl hinsichtlich der Geschwindigkeit als auch hinsichtlich der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit ohne Sprung. Die Funktionen $f_p$ werden diesen beiden Anforderungen gerecht. Geben Sie die zugehörigen Bedingungen an, die die Funktionen $f_p$ erfüllen.