Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung der Funktion $f$ lautet: $f''(x) = \left(\frac{81}{4} \cdot x - 27\right) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$.

b)

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1) Ermitteln Sie den Flächeninhalt von $A$.

FE

c)

Es sei $z$ eine Zahl mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ und $R(z \mid f(z))$ ein Punkt. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \ge z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 stellt diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$ dar.

Die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ begrenzen zusammen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche $4$ Flächeneinheiten groß ist:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\displaystyle\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (ii) Erläutern Sie, was der Term auf der linken Seite der Gleichung in Bedingung III beschreibt.