Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für dessen Längsschnitt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse modelliert.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

(2) Ermitteln Sie durch Rechnung, welchen Höhenunterschied der höchste und der tiefste Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 zueinander haben. [4 Punkte]

(3) Zeigen Sie, dass die obere Randlinie von Element E2 knickfrei an die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 anschließt. [2 Punkte]

(4) Aus Sicherheitsgründen soll an der steilsten Stelle der Bahn der Betrag der Steigung höchstens 0,85 sein.

Zeigen Sie, dass diese Vorgabe beim Element E2 eingehalten wird. [3 Punkte]

e)

Der Abschnitt E3 wird schließlich mit einer Länge von $d = 7{,}5\text{ m}$ gebaut.

Eine Kamera soll in einer Höhe von $5\text{ m}$ über der unteren Randlinie von E3 befestigt werden, um die Fahrten der Skater auf E3 zu filmen. Die Position der Kamera wird vereinfacht durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ dargestellt.

(1) Ermitteln Sie den Wert von $x_K$, für den die Punkte $B$ und $C$ gleich weit von $K$ entfernt sind. [4 Punkte]

(2) Bestimmen Sie die minimale Entfernung des Punktes $K(8{,}49 \mid 5)$ vom Graphen von $g$. [4 Punkte]

f)

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion $h_u$ mit

$$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1) Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen. [3 Punkte]

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ hat. [2 Punkte]