Aufgabe B3 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließen Gebäude des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Damit eine Landung sicher gelingt, muss das Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn den Boden berühren. Als Orientierungshilfe für den Piloten gibt es quer zur Landebahn eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ der Länge $20\text{ m}$ (siehe Abbildung 2). Sie unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

Stellen Sie $s$ in Parameterform dar.

b) (2)

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug entlang der Geraden

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},$$

die die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit

$$S\left( \frac{652891}{1046a - 2015} + 670 \;\middle|\; 10 \;\middle|\; \frac{-42122a}{1046a - 2015} + 22 \right)$$

trifft. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]

(i)

Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei unverändertem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

$\le x_1 \le$

(ii)

Ermitteln Sie alle Werte für $a$ so, dass die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt.

$< a <$