Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Eine Firma bietet Fitnessarmbänder zum Verkauf an. Wie sich der Absatz momentan ändert, lässt sich modellhaft durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = 4000 \cdot x \cdot e^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband bot das Unternehmen auch eine Smartwatch an. Im Modell wird die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$

beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie fünf Monate nach der Markteinführung die momentanen Änderungsraten des Absatzes von Fitnessarmband und Smartwatch.

Vergleich der momentanen Änderungsraten bei $x = 5$:

b) (2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Markteinführung insgesamt verkauft wurden.

b) (3)

Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem seit der Markteinführung gleich viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden.

Geben Sie diesen Zeitpunkt an, falls er existiert.