Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark wird ein weiterer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden errichtet. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch die ganzrationalen Funktionen $f$ und $g$ modelliert ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit man störungsfrei fahren kann, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ aneinander anschließen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt das nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, warum für sämtliche $x \in \mathbb{R}$ die Gleichung $f(x)=f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

[2 Punkte]

a) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn innerhalb von E2 ist.

[5 Punkte]

a) (3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

[2 Punkte]

a) (4)

Aus Gründen der Sicherheit darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn nicht größer als 0,85 sein.

Zeigen Sie, dass das Element E2 diese Vorgabe erfüllt.

[4 Punkte]

Teilaufgabe e)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt wie E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Modelliert wird er hier durch eine Funktion $h$ mit

$$h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

e) (1)

Begründen Sie, dass $h'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h'$ aus dem Graphen von $f'$ ergibt.

[3 Punkte]

e) (2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ besitzt.

[2 Punkte]