Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regelt der Körper durstender Dromedare die Körpertemperatur so, dass die Tiere weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

d) Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Wie groß $a$ ist, hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ welcher Graph zuzuordnen ist.

Graph I:

Graph II:

Graph III:

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\ \mathrm{^\circ C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ diese Bedingung durch die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ erfüllt wird.