Aufgabe MMS 2 · 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extr… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · Analysis · MMS

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA - Analytische Geometrie/Lineare Algebra, AG/LA (A1) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) - Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

1 Aufgabe

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

1 Zunächst werden einzelne Funktionen der Schar betrachtet.

a)

Geben Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f_1$ an. Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von $f_1$ für $x \to +\infty$ an.

Hochpunkt: ( |)

$\lim_{x \to +\infty} f_1(x) =$

b)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f_1$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Ergänzen Sie die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

e)

Für einen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(1|e)$ auf dem Graphen von $f_a$. Berechnen Sie diesen Wert von $a$ die Größe des Winkels, den der Graph von $f_a$ mit der Parallele zur x-Achse durch den Punkt $P$ einschließt.

$a =$

°