Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben. Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers erstellt ein Architekturbüro eine Planung. Das Gebäude wird durch den Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

In einer Ebene über dem Dach, die parallel zur Dachfläche $GEF$ liegt, ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen (siehe Abbildung 2).

Teilaufgabe b

(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ in Parameterform dar.

(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen.

Auf dem letzten Flugabschnitt bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}$$ beschrieben wird.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Dachfläche $GEF$ mindestens einen Punkt mit der Geraden $g$ gemeinsam hat.

Teilaufgabe c

Eine Schar paralleler Ebenen wird durch $E_b: 3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 = b$, $b \in \mathbb{R}$, beschrieben.

Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $b$, für den $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt. [Zur Kontrolle: $b = -584$.]