Aufgabe B2 - Teilaufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, die durch folgende Funktionsgleichung festgelegt ist:

$$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1)

Zeichnen Sie die Sekante in die vorliegende Abbildung ein.

Diese Sekante schneidet den Graphen von $f$ außerdem an den Stellen $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Ein Nachweis wird nicht verlangt.]

(2) (i)

Ermitteln Sie $\int\limits_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx$.

(2) (ii)

Begründen Sie unter Nutzung Ihres Ergebnisses (z. B. anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung:$$\int\limits_{-1}^{1} (f(x) - s(x))\,dx = 2 \cdot \int\limits_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x) - f(x))\,dx$$