Aufgabe B5 - Teilaufgaben a und c(2) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten. Zudem steht ihnen Trinkwasser nur unregelmäßig zur Verfügung.

Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Im Folgenden wird die Schwankung der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars von 0 Uhr bis 20 Uhr an einem Wüstentag betrachtet.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a)

(1)

Ermitteln Sie rechnerisch die Dauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\text{C}$ beträgt.

Stunden

(2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren ist sie aufgrund ihrer Anpassung an das Leben in der Wüste deutlich größer als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars für den betrachteten Zeitraum.

°C

c)

Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des jeweiligen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

(2)

Selbst unter extremen Bedingungen liegt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars weder über $42\ ^\circ\text{C}$ noch unter $34\ ^\circ\text{C}$.

(i)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, dass $f_a$ und die Funktion $k$ dieselben Extremstellen besitzen, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ die Funktionswerte $f_a(t)$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ weder über 42 noch unter 34 liegen.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht betrachtet werden.