Aufgabe WTR 2 - 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=(x+2)⋅e−xf(x) = (x + 2) \cdot \mathrm{e}^{-x}. Für die erste Ableitungsfunktion von ff gilt f′(x)=−(x+1)⋅e−xf'(x) = -(x + 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}.

b)

Geben Sie den Grenzwert von ff für x→+∞x \to +\infty an und beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von ff für x→+∞x \to +\infty.

c)

Eine der Abbildungen I, II und III zeigt den Graphen von ff. Geben Sie diese Abbildung an und begründen Sie Ihre Angabe.

e)

Der Graph einer Funktion gg kann aus dem Graphen von ff schrittweise erzeugt werden durch:

Spiegelung an der x-Achse

Streckung mit dem Faktor 1e\frac{1}{\mathrm{e}} in y-Richtung

Verschiebung um 11 in positive x-Richtung

Zeigen Sie, dass g(x)=f′(x)g(x) = f'(x) gilt.

Aufgabenstellung: Aufgabe WTR 2 - 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Geben Sie den Grenzwert von f für x -> +unendlich an

Lösung: 00

beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f für x -> +unendlich

Lösung: Der Graph von f nähert sich der x-Achse asymptotisch.

Zeigen Sie, dass g(x) = f'(x) gilt

Lösung: g(x)=−1e⋅((x−1)+2)⋅e−(x−1)=−1e⋅(x+1)⋅e−x⋅e=−(x+1)e−x=f′(x)g(x) = -\frac{1}{\mathrm{e}} \cdot ((x-1)+2) \cdot \mathrm{e}^{-(x-1)} = -\frac{1}{\mathrm{e}} \cdot (x+1) \cdot \mathrm{e}^{-x} \cdot \mathrm{e} = -(x+1)\mathrm{e}^{-x} = f'(x)

e) Zeigen Sie, dass g(x)=f′(x)g(x) = f'(x) gilt.

Lösung: g(x) = -1/e * f(x - 1) = -1/e * (x - 1) * e^(-(x - 1)) = -(x - 1) * e^(-x) = (1 - x) * e^(-x) = f'(x)

Eine der Abbildungen I, II und III zeigt den Graphen von f. Geben Sie diese Abbildung an und begründen Sie Ihre Angabe.

Lösung: Abbildung II

Die ausführliche Erklärung Schritt für Schritt (mit KI) gibt es mit Premium. Premium

Löse sie direkt hier: automatische Korrektur, Hinweise und Lösung Schritt für Schritt.

‹ Aufgabe WTR 1 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · GK · Teil B · Analysis (WTR) 2022 · Aufgabe A1 - Teilaufgabe a(1) · LK · Haupttermin · CAS 2022 ›

Mehr Aufgaben zu Funktionen und ihre Eigenschaften