Aufgabe A2 - Teilaufgabe e · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

e) Eine Firma erstellt einen Test, der aus mehreren Fragen besteht. Bei jeder einzelnen Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort zu erraten, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, ohne jemals mit dem Thema vertraut gewesen zu sein; bei jeder Frage antwortet er daher rein zufällig.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele Fragen richtig beantwortet werden, und wird als binomialverteilt angenommen.

Durch den Aufbau des Tests ist zu erwarten, dass Jonas beim Raten im Mittel sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht.

(2)

Jonas will mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % wenigstens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas hierfür mindestens bearbeiten muss.

(3)

Auch bei einem weiteren Test beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Antwort richtig zu erraten, bei jeder Frage $\frac{1}{4}$. Die Anzahl richtig beantworteter Fragen lässt sich hier durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ modellieren. Die Standardabweichung von $Y$ beträgt $3$.

Berechnen Sie, wie viele Fragen dieser Test enthält.