Aufgabe f · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

(1) Geben Sie an, welcher Vektor die Diagonale f = CA beschreibt.

Lösung: $\vec{v}$

(2) Beweisen Sie: Stehen u und v senkrecht aufeinander, so ist das Parallelogramm eine Raute.

Lösung: Da das Viereck $OABC$ ein Parallelogramm ist, gilt: $\overline{OA} = \overline{CB}$ und $\overline{OC} = \overline{AB}$. Es reicht also zu zeigen, dass $|\overline{OA}| = |\overline{OC}|$. $$\vec{u} \perp \vec{v} \Rightarrow \begin{pmatrix} a_1+c_1 \\ a_2+c_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1-c_1 \\ a_2-c_2 \end{pmatrix} = 0$$ $$\Rightarrow (a_1+c_1)(a_1-c_1) + (a_2+c_2)(a_2-c_2) = 0$$ $$\Rightarrow a_1^2 - c_1^2 + a_2^2 - c_2^2 = 0$$ $$\Rightarrow a_1^2 + a_2^2 = c_1^2 + c_2^2$$ $$\Rightarrow |\overline{OA}|^2 = |\overline{OC}|^2 \Rightarrow |\overline{OA}| = |\overline{OC}|$$ $\Rightarrow$ Das Parallelogramm $OABC$ ist eine Raute.